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T1: Matrices y determinantes
Operaciones con matrices, inversa y ecuaciones matriciales
Problema
2020 · Extraordinaria · Suplente
2
Examen
EJERCICIO 2

Se consideran las matrices A=(10−2a10)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix}, B=A⋅AtB = A \cdot A^t y C=(1−210)C = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, siendo aa un parámetro real.

a) ¿Para qué valores del parámetro aa existe la inversa de la matriz BB?b) Para a=1a = 1, calcule la inversa de la matriz BB.c) Para a=1a = 1, resuelva la ecuación matricial Bt⋅X+9C=OB^t \cdot X + 9 C = O.
MatricesInversaEcuación matricial+1
Resolución del Ejercicio 2
a) ¿Para qué valores del parámetro aa existe la inversa de la matriz BB?

Primero, calculamos la matriz BB como el producto de AA por su traspuesta AtA^t:

B=A⋅At=(10−2a10)⋅(1a01−20)=(1+0+4a+0+0a+0+0a2+1+0)=(5aaa2+1)B = A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+4 & a+0+0 \\ a+0+0 & a^2+1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & a \\ a & a^2 + 1 \end{pmatrix}

Para que una matriz cuadrada sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de BB:

∣B∣=∣5aaa2+1∣=5(a2+1)−a2=5a2+5−a2=4a2+5|B| = \begin{vmatrix} 5 & a \\ a & a^2 + 1 \end{vmatrix} = 5(a^2 + 1) - a^2 = 5a^2 + 5 - a^2 = 4a^2 + 5

Analizamos la ecuación ∣B∣=0  ⟹  4a2+5=0|B| = 0 \implies 4a^2 + 5 = 0. Dado que a2≥0a^2 \geq 0 para cualquier número real aa, la expresión 4a2+54a^2 + 5 siempre será mayor o igual a 55. Por tanto, el determinante nunca se anula para ningún valor de aa perteneciente a los números reales.Conclusión: La matriz BB tiene inversa para cualquier valor real de aa.

b) Para a=1a = 1, calcule la inversa de la matriz BB.

Para a=1a = 1, la matriz BB y su determinante son:

B=(5112),∣B∣=4(1)2+5=9B = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad |B| = 4(1)^2 + 5 = 9

Calculamos la matriz de cofactores Adj(B)Adj(B) y su traspuesta. Al ser BB una matriz simétrica, (Adj(B))t(Adj(B))^t coincide con la adjunta directa:

Adj(B)=(2−1−15)  ⟹  (Adj(B))t=(2−1−15)Adj(B) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \implies (Adj(B))^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}

Aplicamos la fórmula de la matriz inversa B−1=1∣B∣(Adj(B))tB^{-1} = \frac{1}{|B|} (Adj(B))^t:

B−1=19(2−1−15)=(2/9−1/9−1/95/9)B^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/9 & -1/9 \\ -1/9 & 5/9 \end{pmatrix}
c) Para a=1a = 1, resuelva la ecuación matricial Bt⋅X+9C=OB^t \cdot X + 9 C = O.

Despejamos la matriz XX de la ecuación. Como BB es simétrica, Bt=BB^t = B:

B⋅X=−9C  ⟹  X=B−1⋅(−9C)B \cdot X = -9C \implies X = B^{-1} \cdot (-9C)

Sustituimos B−1B^{-1} por su expresión fraccionaria para facilitar los cálculos:

X=19(2−1−15)⋅(−9)(1−210)=−(2−1−15)⋅(1−210)X = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \cdot (-9) \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Realizamos la multiplicación de las matrices restantes:

X=−((2⋅1+(−1)⋅1)(2⋅(−2)+(−1)⋅0)((−1)⋅1+5⋅1)((−1)⋅(−2)+5⋅0))=−(1−442)X = - \begin{pmatrix} (2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1) & (2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0) \\ ((-1) \cdot 1 + 5 \cdot 1) & ((-1) \cdot (-2) + 5 \cdot 0) \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}

Multiplicando por −1-1, obtenemos la matriz solución:

X=(−14−4−2)X = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}