T5: Integrales · Integrales definidas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Integrales definidas

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Calcula $a$ con $0 < a < 1$ , tal que:

\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x} dx + 2 = 0

(ln denota la función logaritmo neperiano).

Integral definidaLogaritmo neperianoParámetros

Resolución de la ecuación integral

Para resolver el problema, primero calculamos la integral indefinida $\int \frac{\ln(x)}{x} dx$ . Esta integral es de tipo inmediata, ya que la derivada de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$ .

\int \frac{\ln(x)}{x} dx = \int \ln(x) \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{(\ln(x))^2}{2} + C

Aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral definida entre los límites $a$ y $1$ :

\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x} dx = \left[ \frac{(\ln(x))^2}{2} \right]_{a}^{1} = \frac{(\ln(1))^2}{2} - \frac{(\ln(a))^2}{2}

Dado que $\ln(1) = 0$ , la expresión anterior se simplifica a:

0 - \frac{(\ln(a))^2}{2} = - \frac{(\ln(a))^2}{2}

Sustituimos el resultado de la integral en la ecuación inicial $\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x} dx + 2 = 0$ :

- \frac{(\ln(a))^2}{2} + 2 = 0 \implies - \frac{(\ln(a))^2}{2} = -2

Multiplicamos por $-2$ en ambos lados para despejar el término con el logaritmo:

(\ln(a))^2 = 4

Tomamos la raíz cuadrada en ambos miembros, obteniendo dos posibles valores para $\ln(a)$ :

\ln(a) = \pm \sqrt{4} \implies \ln(a) = 2 \quad \text{o} \quad \ln(a) = -2

Despejamos $a$ aplicando la función exponencial:

a_1 = e^2 \approx 7,389

a_2 = e^{-2} = \frac{1}{e^2} \approx 0,135

El enunciado establece la restricción $0 < a < 1$ . Como $e^2 > 1$ , descartamos $a_1$ . Por lo tanto, el valor buscado es:

a = e^{-2}