i) El campo eléctrico en el punto ( 2 , 2 ) m (2,2) \text{ m} ( 2 , 2 ) m . El campo eléctrico total en el punto P = ( 2 , 2 ) m P=(2,2) \text{ m} P = ( 2 , 2 ) m es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada carga en ese punto, E ⃗ = E ⃗ 1 + E ⃗ 2 \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 E = E 1 + E 2 . La expresión general del campo eléctrico creado por una carga puntual q q q en una posición r ⃗ \vec{r} r es:
E ⃗ = K q r 2 u ^ r \vec{E} = K \frac{q}{r^2} \hat{u}_r E = K r 2 q u ^ r donde K K K es la constante de Coulomb, r r r es la distancia desde la carga al punto, y u ^ r \hat{u}_r u ^ r es el vector unitario que apunta desde la carga al punto.
X Y + $q_1$ + $q_2$ $P$ E1 E2 E_neta
Cálculo del campo eléctrico E ⃗ 1 \vec{E}_1 E 1 debido a q 1 q_1 q 1 en P P P : La posición de la carga q 1 q_1 q 1 es r ⃗ 1 = ( 0 , 0 ) m \vec{r}_1 = (0,0) \text{ m} r 1 = ( 0 , 0 ) m . La posición del punto P P P es r ⃗ P = ( 2 , 2 ) m \vec{r}_P = (2,2) \text{ m} r P = ( 2 , 2 ) m .
El vector de posición desde q 1 q_1 q 1 hasta P P P es:
r ⃗ 1 P = r ⃗ P − r ⃗ 1 = ( 2 − 0 ) i ⃗ + ( 2 − 0 ) j ⃗ = ( 2 i ⃗ + 2 j ⃗ ) m \vec{r}_{1P} = \vec{r}_P - \vec{r}_1 = (2-0)\vec{i} + (2-0)\vec{j} = (2\vec{i} + 2\vec{j}) \text{ m} r 1 P = r P − r 1 = ( 2 − 0 ) i + ( 2 − 0 ) j = ( 2 i + 2 j ) m La magnitud de este vector es:
r 1 P = ∣ r ⃗ 1 P ∣ = 2 2 + 2 2 = 4 + 4 = 8 = 2 2 m r_{1P} = |\vec{r}_{1P}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m} r 1 P = ∣ r 1 P ∣ = 2 2 + 2 2 = 4 + 4 = 8 = 2 2 m El vector unitario es:
u ^ 1 P = r ⃗ 1 P r 1 P = 2 i ⃗ + 2 j ⃗ 2 2 = 1 2 i ⃗ + 1 2 j ⃗ = 2 2 i ⃗ + 2 2 j ⃗ \hat{u}_{1P} = \frac{\vec{r}_{1P}}{r_{1P}} = \frac{2\vec{i} + 2\vec{j}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j} = \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j} u ^ 1 P = r 1 P r 1 P = 2 2 2 i + 2 j = 2 1 i + 2 1 j = 2 2 i + 2 2 j Sustituyendo en la fórmula del campo eléctrico:
E ⃗ 1 = K q 1 r 1 P 2 u ^ 1 P = ( 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 ⋅ C − 2 ) 4 ⋅ 10 − 6 C ( 2 2 m ) 2 ( 2 2 i ⃗ + 2 2 j ⃗ ) \vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_{1P}^2} \hat{u}_{1P} = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{4 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{(2\sqrt{2} \text{ m})^2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j} \right) E 1 = K r 1 P 2 q 1 u ^ 1 P = ( 9 ⋅ 1 0 9 N ⋅ m 2 ⋅ C − 2 ) ( 2 2 m ) 2 4 ⋅ 1 0 − 6 C ( 2 2 i + 2 2 j ) E ⃗ 1 = ( 9 ⋅ 10 9 ) 4 ⋅ 10 − 6 8 ( 2 2 i ⃗ + 2 2 j ⃗ ) = 4500 ( 2 2 i ⃗ + 2 2 j ⃗ ) N/C \vec{E}_1 = (9 \cdot 10^9) \frac{4 \cdot 10^{-6}}{8} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j} \right) = 4500 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j} \right) \text{ N/C} E 1 = ( 9 ⋅ 1 0 9 ) 8 4 ⋅ 1 0 − 6 ( 2 2 i + 2 2 j ) = 4500 ( 2 2 i + 2 2 j ) N/C E ⃗ 1 = ( 2250 2 i ⃗ + 2250 2 j ⃗ ) N/C ≈ ( 3182 i ⃗ + 3182 j ⃗ ) N/C \vec{E}_1 = (2250\sqrt{2}\vec{i} + 2250\sqrt{2}\vec{j}) \text{ N/C} \approx (3182\vec{i} + 3182\vec{j}) \text{ N/C} E 1 = ( 2250 2 i + 2250 2 j ) N/C ≈ ( 3182 i + 3182 j ) N/C Cálculo del campo eléctrico E ⃗ 2 \vec{E}_2 E 2 debido a q 2 q_2 q 2 en P P P : La posición de la carga q 2 q_2 q 2 es r ⃗ 2 = ( 2 , 0 ) m \vec{r}_2 = (2,0) \text{ m} r 2 = ( 2 , 0 ) m .
El vector de posición desde q 2 q_2 q 2 hasta P P P es:
r ⃗ 2 P = r ⃗ P − r ⃗ 2 = ( 2 − 2 ) i ⃗ + ( 2 − 0 ) j ⃗ = ( 0 i ⃗ + 2 j ⃗ ) = 2 j ⃗ m \vec{r}_{2P} = \vec{r}_P - \vec{r}_2 = (2-2)\vec{i} + (2-0)\vec{j} = (0\vec{i} + 2\vec{j}) = 2\vec{j} \text{ m} r 2 P = r P − r 2 = ( 2 − 2 ) i + ( 2 − 0 ) j = ( 0 i + 2 j ) = 2 j m La magnitud de este vector es:
r 2 P = ∣ r ⃗ 2 P ∣ = 0 2 + 2 2 = 2 m r_{2P} = |\vec{r}_{2P}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \text{ m} r 2 P = ∣ r 2 P ∣ = 0 2 + 2 2 = 2 m El vector unitario es:
u ^ 2 P = r ⃗ 2 P r 2 P = 2 j ⃗ 2 = j ⃗ \hat{u}_{2P} = \frac{\vec{r}_{2P}}{r_{2P}} = \frac{2\vec{j}}{2} = \vec{j} u ^ 2 P = r 2 P r 2 P = 2 2 j = j Sustituyendo en la fórmula del campo eléctrico:
E ⃗ 2 = K q 2 r 2 P 2 u ^ 2 P = ( 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 ⋅ C − 2 ) 2 ⋅ 10 − 6 C ( 2 m ) 2 ( j ⃗ ) \vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_{2P}^2} \hat{u}_{2P} = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{(2 \text{ m})^2} (\vec{j}) E 2 = K r 2 P 2 q 2 u ^ 2 P = ( 9 ⋅ 1 0 9 N ⋅ m 2 ⋅ C − 2 ) ( 2 m ) 2 2 ⋅ 1 0 − 6 C ( j ) E ⃗ 2 = ( 9 ⋅ 10 9 ) 2 ⋅ 10 − 6 4 ( j ⃗ ) = 4500 j ⃗ N/C \vec{E}_2 = (9 \cdot 10^9) \frac{2 \cdot 10^{-6}}{4} (\vec{j}) = 4500\vec{j} \text{ N/C} E 2 = ( 9 ⋅ 1 0 9 ) 4 2 ⋅ 1 0 − 6 ( j ) = 4500 j N/C El campo eléctrico total en el punto P P P es la suma de E ⃗ 1 \vec{E}_1 E 1 y E ⃗ 2 \vec{E}_2 E 2 :
E ⃗ = E ⃗ 1 + E ⃗ 2 = ( 2250 2 i ⃗ + 2250 2 j ⃗ ) + ( 4500 j ⃗ ) \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = (2250\sqrt{2}\vec{i} + 2250\sqrt{2}\vec{j}) + (4500\vec{j}) E = E 1 + E 2 = ( 2250 2 i + 2250 2 j ) + ( 4500 j ) E ⃗ = 2250 2 i ⃗ + ( 2250 2 + 4500 ) j ⃗ N/C \vec{E} = 2250\sqrt{2}\vec{i} + (2250\sqrt{2} + 4500)\vec{j} \text{ N/C} E = 2250 2 i + ( 2250 2 + 4500 ) j N/C Calculando los valores numéricos:
2250 2 ≈ 3181.98 N/C 2250\sqrt{2} \approx 3181.98 \text{ N/C} 2250 2 ≈ 3181.98 N/C 2250 2 + 4500 ≈ 3181.98 + 4500 = 7681.98 N/C 2250\sqrt{2} + 4500 \approx 3181.98 + 4500 = 7681.98 \text{ N/C} 2250 2 + 4500 ≈ 3181.98 + 4500 = 7681.98 N/C Redondeando a tres cifras significativas, el campo eléctrico en el punto ( 2 , 2 ) m (2,2) \text{ m} ( 2 , 2 ) m es:
E ⃗ ≈ ( 3.18 ⋅ 10 3 i ⃗ + 7.68 ⋅ 10 3 j ⃗ ) N/C \vec{E} \approx (3.18 \cdot 10^3 \vec{i} + 7.68 \cdot 10^3 \vec{j}) \text{ N/C} E ≈ ( 3.18 ⋅ 1 0 3 i + 7.68 ⋅ 1 0 3 j ) N/C ii) La fuerza a la que estaría sometida una tercera partícula con carga q 3 = 3 ⋅ 10 − 8 C q_3 = 3 \cdot 10^{-8} \text{ C} q 3 = 3 ⋅ 1 0 − 8 C situada en el punto ( 2 , 2 ) m (2,2) \text{ m} ( 2 , 2 ) m . La fuerza F ⃗ \vec{F} F que experimenta una carga q 3 q_3 q 3 situada en un punto donde existe un campo eléctrico E ⃗ \vec{E} E viene dada por la expresión:
F ⃗ = q 3 E ⃗ \vec{F} = q_3 \vec{E} F = q 3 E Utilizando el valor del campo eléctrico calculado en el apartado anterior:
F ⃗ = ( 3 ⋅ 10 − 8 C ) ⋅ ( 2250 2 i ⃗ + ( 2250 2 + 4500 ) j ⃗ ) N/C \vec{F} = (3 \cdot 10^{-8} \text{ C}) \cdot (2250\sqrt{2}\vec{i} + (2250\sqrt{2} + 4500)\vec{j}) \text{ N/C} F = ( 3 ⋅ 1 0 − 8 C ) ⋅ ( 2250 2 i + ( 2250 2 + 4500 ) j ) N/C F ⃗ = ( 3 ⋅ 10 − 8 ⋅ 2250 2 ) i ⃗ + ( 3 ⋅ 10 − 8 ⋅ ( 2250 2 + 4500 ) ) j ⃗ \vec{F} = (3 \cdot 10^{-8} \cdot 2250\sqrt{2})\vec{i} + (3 \cdot 10^{-8} \cdot (2250\sqrt{2} + 4500))\vec{j} F = ( 3 ⋅ 1 0 − 8 ⋅ 2250 2 ) i + ( 3 ⋅ 1 0 − 8 ⋅ ( 2250 2 + 4500 )) j F ⃗ ≈ ( 3 ⋅ 10 − 8 ⋅ 3181.98 ) i ⃗ + ( 3 ⋅ 10 − 8 ⋅ 7681.98 ) j ⃗ N \vec{F} \approx (3 \cdot 10^{-8} \cdot 3181.98)\vec{i} + (3 \cdot 10^{-8} \cdot 7681.98)\vec{j} \text{ N} F ≈ ( 3 ⋅ 1 0 − 8 ⋅ 3181.98 ) i + ( 3 ⋅ 1 0 − 8 ⋅ 7681.98 ) j N F ⃗ ≈ ( 9.5459 ⋅ 10 − 5 i ⃗ + 2.3046 ⋅ 10 − 4 j ⃗ ) N \vec{F} \approx (9.5459 \cdot 10^{-5}\vec{i} + 2.3046 \cdot 10^{-4}\vec{j}) \text{ N} F ≈ ( 9.5459 ⋅ 1 0 − 5 i + 2.3046 ⋅ 1 0 − 4 j ) N Redondeando a tres cifras significativas, la fuerza sobre la carga q 3 q_3 q 3 es:
F ⃗ ≈ ( 9.55 ⋅ 10 − 5 i ⃗ + 2.30 ⋅ 10 − 4 j ⃗ ) N \vec{F} \approx (9.55 \cdot 10^{-5} \vec{i} + 2.30 \cdot 10^{-4} \vec{j}) \text{ N} F ≈ ( 9.55 ⋅ 1 0 − 5 i + 2.30 ⋅ 1 0 − 4 j ) N 
