AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Interacción gravitatoria
Fuerza y trabajo gravitatorio
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
A2-b
Examen

Dos masas iguales de 2 kg2 \text{ kg} están situadas en los puntos A(1,0) mA(1,0) \text{ m} y B(−1,0) mB(-1,0) \text{ m}.

b) i) Calcule la fuerza gravitatoria sobre una tercera masa MM de 1 kg1 \text{ kg} situada en el punto C(0,1) mC(0,1) \text{ m}. ii) Determine el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando la masa MM se desplaza hasta el origen de coordenadas.

Dato: G=6,67⋅10−11 N ⋅ m2/ kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N } \cdot \text{ m}^2 / \text{ kg}^2

fuerza gravitatoriatrabajopotencial
b) i) Calcule la fuerza gravitatoria sobre una tercera masa MM de 1 kg1 \text{ kg} situada en el punto C(0,1) mC(0,1) \text{ m}.

Las masas dadas son mA=2 kgm_A = 2 \text{ kg} en A(1,0) mA(1,0) \text{ m}, mB=2 kgm_B = 2 \text{ kg} en B(−1,0) mB(-1,0) \text{ m} y M=1 kgM = 1 \text{ kg} en C(0,1) mC(0,1) \text{ m}. La constante de gravitación universal es G=6,67⋅10−11 N ⋅ m2/ kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N } \cdot \text{ m}^2 / \text{ kg}^2. La fuerza gravitatoria total sobre la masa MM será la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por mAm_A y mBm_B.La fórmula general para la fuerza gravitatoria entre dos masas m1m_1 y m2m_2 es:

F⃗=−Gm1m2r3r⃗\vec{F} = -G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec{r}

donde r⃗\vec{r} es el vector de posición desde la masa fuente a la masa sobre la que se calcula la fuerza.Vector de posición de MM respecto a mAm_A (vector AC⃗\vec{AC}):

r⃗AC=r⃗C−r⃗A=(0−1,1−0)=(−1,1) m\vec{r}_{AC} = \vec{r}_C - \vec{r}_A = (0-1, 1-0) = (-1,1) \text{ m}

Módulo del vector r⃗AC\vec{r}_{AC}:

rAC=∣r⃗AC∣=(−1)2+(1)2=2 mr_{AC} = |\vec{r}_{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2} \text{ m}

Fuerza gravitatoria de mAm_A sobre MM en CC:

F⃗AC=−GmAMrAC3r⃗AC\vec{F}_{AC} = -G \frac{m_A M}{r_{AC}^3} \vec{r}_{AC} \\
F⃗AC=−(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(2 kg)(1 kg)(2 m)3(−1,1) m\vec{F}_{AC} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \frac{(2 \text{ kg})(1 \text{ kg})}{(\sqrt{2} \text{ m})^3} (-1,1) \text{ m} \\
F⃗AC=−(6,67⋅10−11)222(−1,1) N\vec{F}_{AC} = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{2}{2\sqrt{2}} (-1,1) \text{ N} \\
F⃗AC=−(6,67⋅10−11)12(−1,1) N\vec{F}_{AC} = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{1}{\sqrt{2}} (-1,1) \text{ N} \\
F⃗AC≈(4,72⋅10−11 N)i^−(4,72⋅10−11 N)j^\vec{F}_{AC} \approx (4,72 \cdot 10^{-11}\text{ N}) \hat{i} - (4,72 \cdot 10^{-11}\text{ N}) \hat{j}

Vector de posición de MM respecto a mBm_B (vector BC⃗\vec{BC}):

r⃗BC=r⃗C−r⃗B=(0−(−1),1−0)=(1,1) m\vec{r}_{BC} = \vec{r}_C - \vec{r}_B = (0-(-1), 1-0) = (1,1) \text{ m}

Módulo del vector r⃗BC\vec{r}_{BC}:

rBC=∣r⃗BC∣=(1)2+(1)2=2 mr_{BC} = |\vec{r}_{BC}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2} \text{ m}

Fuerza gravitatoria de mBm_B sobre MM en CC:

F⃗BC=−GmBMrBC3r⃗BC\vec{F}_{BC} = -G \frac{m_B M}{r_{BC}^3} \vec{r}_{BC} \\
F⃗BC=−(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)(2 kg)(1 kg)(2 m)3(1,1) m\vec{F}_{BC} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \frac{(2 \text{ kg})(1 \text{ kg})}{(\sqrt{2} \text{ m})^3} (1,1) \text{ m} \\
F⃗BC=−(6,67⋅10−11)12(1,1) N\vec{F}_{BC} = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1) \text{ N} \\
F⃗BC≈−(4,72⋅10−11 N)i^−(4,72⋅10−11 N)j^\vec{F}_{BC} \approx -(4,72 \cdot 10^{-11}\text{ N}) \hat{i} - (4,72 \cdot 10^{-11}\text{ N}) \hat{j}

La fuerza gravitatoria total sobre MM en CC es la suma vectorial de F⃗AC\vec{F}_{AC} y F⃗BC\vec{F}_{BC}:

F⃗C=F⃗AC+F⃗BC=[(4,72−4,72)i^+(−4,72−4,72)j^]⋅10−11 N\vec{F}_C = \vec{F}_{AC} + \vec{F}_{BC} = [(4,72 - 4,72) \hat{i} + (-4,72 - 4,72) \hat{j}] \cdot 10^{-11} \text{ N} \\
F⃗C=(0i^−9,44j^)⋅10−11 N\vec{F}_C = (0 \hat{i} - 9,44 \hat{j}) \cdot 10^{-11} \text{ N} \\
F⃗C=−9,44⋅10−11j^ N\vec{F}_C = -9,44 \cdot 10^{-11} \hat{j} \text{ N}
b) ii) Determine el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando la masa MM se desplaza hasta el origen de coordenadas.

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es independiente de la trayectoria y se puede calcular como la variación de la energía potencial gravitatoria:

Wgrav=−ΔU=Ui−UfW_{grav} = -\Delta U = U_i - U_f

donde UiU_i es la energía potencial inicial (en C(0,1) mC(0,1) \text{ m}) y UfU_f es la energía potencial final (en el origen O(0,0) mO(0,0) \text{ m}). La energía potencial gravitatoria de una masa m2m_2 debida a una masa m1m_1 a una distancia rr es:

U=−Gm1m2rU = -G \frac{m_1 m_2}{r}

Energía potencial en el punto inicial C(0,1) mC(0,1) \text{ m}:

UC=−GmAMrAC−GmBMrBCU_C = -G \frac{m_A M}{r_{AC}} - G \frac{m_B M}{r_{BC}}

Sabemos que rAC=2 mr_{AC} = \sqrt{2} \text{ m} y rBC=2 mr_{BC} = \sqrt{2} \text{ m}.

UC=−(6,67⋅10−11)(2)(1)2−(6,67⋅10−11)(2)(1)2U_C = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{(2)(1)}{\sqrt{2}} - (6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{(2)(1)}{\sqrt{2}} \\
UC=−2⋅(6,67⋅10−11)22=−2⋅(6,67⋅10−11)2U_C = -2 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{2}{\sqrt{2}} = -2 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11}) \sqrt{2} \\
UC≈−1,886⋅10−10 JU_C \approx -1,886 \cdot 10^{-10} \text{ J}

Energía potencial en el punto final O(0,0) mO(0,0) \text{ m}:Distancia de mAm_A a MM en OO (rAOr_{AO}):

rAO=∣r⃗O−r⃗A∣=∣(0−1,0−0)∣=(−1)2+02=1 mr_{AO} = |\vec{r}_O - \vec{r}_A| = |(0-1, 0-0)| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1 \text{ m}

Distancia de mBm_B a MM en OO (rBOr_{BO}):

rBO=∣r⃗O−r⃗B∣=∣(0−(−1),0−0)∣=(1)2+02=1 mr_{BO} = |\vec{r}_O - \vec{r}_B| = |(0-(-1), 0-0)| = \sqrt{(1)^2 + 0^2} = 1 \text{ m}
UO=−GmAMrAO−GmBMrBOU_O = -G \frac{m_A M}{r_{AO}} - G \frac{m_B M}{r_{BO}} \\
UO=−(6,67⋅10−11)(2)(1)1−(6,67⋅10−11)(2)(1)1U_O = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{(2)(1)}{1} - (6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{(2)(1)}{1} \\
UO=−2⋅(6,67⋅10−11)⋅2=−4⋅(6,67⋅10−11)U_O = -2 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 2 = -4 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11}) \\
UO=−2,668⋅10−10 JU_O = -2,668 \cdot 10^{-10} \text{ J}

Trabajo realizado por la fuerza gravitatoria:

WCO=UC−UOW_{CO} = U_C - U_O \\
WCO=(−1,886⋅10−10 J)−(−2,668⋅10−10 J)W_{CO} = (-1,886 \cdot 10^{-10} \text{ J}) - (-2,668 \cdot 10^{-10} \text{ J}) \\
WCO=(2,668−1,886)⋅10−10 JW_{CO} = (2,668 - 1,886) \cdot 10^{-10} \text{ J} \\
WCO=0,782⋅10−10 J=7,82⋅10−11 JW_{CO} = 0,782 \cdot 10^{-10} \text{ J} = 7,82 \cdot 10^{-11} \text{ J}