T1: Interacción gravitatoria

Órbitas

Teoría

2019 · Extraordinaria · Reserva

1B-a

Dos cuerpos de masas $m$ y $2m$ se encuentran en una misma órbita circular alrededor de la Tierra.

a) Deduzca la relación entre: i) Las velocidades orbitales de los cuerpos. ii) Las energías totales en las órbitas.

Velocidad orbitalEnergía mecánica

a) i) Las velocidades orbitales de los cuerpos.

Consideremos un cuerpo de masa $m_c$ orbitando circularmente alrededor de la Tierra (masa $M_T$ ) a una distancia $r$ de su centro. La fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre el cuerpo proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener la órbita.

F_g = G \frac{M_T m_c}{r^2}

F_c = \frac{m_c v^2}{r}

Igualando ambas fuerzas para una órbita estable:

G \frac{M_T m_c}{r^2} = \frac{m_c v^2}{r}

De esta ecuación, podemos despejar la velocidad orbital $v$ :

v^2 = G \frac{M_T}{r}

v = \sqrt{G \frac{M_T}{r}}

Como se observa en la expresión final, la velocidad orbital $v$ solo depende de la constante de gravitación universal $G$ , la masa del cuerpo central $M_T$ (la Tierra) y el radio de la órbita $r$ . No depende de la masa del cuerpo que orbita $m_c$ . Dado que ambos cuerpos se encuentran en la misma órbita circular (mismo $r$ ), sus velocidades orbitales serán idénticas.

v_m = v_{2m} \implies \frac{v_m}{v_{2m}} = 1

a) ii) Las energías totales en las órbitas.

La energía total de un cuerpo en órbita es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria.

E_k = \frac{1}{2} m_c v^2

E_p = - G \frac{M_T m_c}{r}

Sustituyendo la expresión de la velocidad orbital $v = \sqrt{G \frac{M_T}{r}}$ en la energía cinética:

E_k = \frac{1}{2} m_c \left( G \frac{M_T}{r} \right) = \frac{1}{2} G \frac{M_T m_c}{r}

La energía total $E_{total}$ es entonces:

E_{total} = E_k + E_p = \frac{1}{2} G \frac{M_T m_c}{r} - G \frac{M_T m_c}{r}

E_{total} = - \frac{1}{2} G \frac{M_T m_c}{r}

La energía total es directamente proporcional a la masa del cuerpo en órbita $m_c$ . Para los dos cuerpos de masas $m$ y $2m$ en la misma órbita (mismo $r$ ):

E_{total,m} = - \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}

E_{total,2m} = - \frac{1}{2} G \frac{M_T (2m)}{r} = 2 \left( - \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r} \right)

Por lo tanto, la energía total del cuerpo de masa $2m$ será el doble que la del cuerpo de masa $m$ .

E_{total,2m} = 2 E_{total,m} \implies \frac{E_{total,2m}}{E_{total,m}} = 2