T4: Funciones · Optimización — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Optimización

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Los ingresos ( $I$ ) y costes ( $C$ ) de una discoteca, en miles de euros, en función del número de horas diarias que permanece abierta, vienen dados por las funciones:

I(x) = x^3 - x; C(x) = x^3 - x^2 + 6,

respectivamente. Sabiendo que la licencia del ayuntamiento no permite que este tipo de local permanezca abierto más de 8 horas diarias, halle:

a) La función beneficio en función del número de horas diarias que la discoteca permanece abierta.b) El número de horas que debe permanecer abierta para obtener beneficios.c) En qué momento se tienen las mayores pérdidas y a cuánto ascienden.d) El tiempo que debe permanecer abierta para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende.

Ingresos y costesBeneficioDerivadas

a) La función beneficio en función del número de horas diarias que la discoteca permanece abierta.

La función beneficio $B(x)$ se obtiene restando la función de costes $C(x)$ a la función de ingresos $I(x)$ .

B(x) = I(x) - C(x)

B(x) = (x^3 - x) - (x^3 - x^2 + 6)

B(x) = x^3 - x - x^3 + x^2 - 6

Simplificando la expresión, obtenemos:

B(x) = x^2 - x - 6

b) El número de horas que debe permanecer abierta para obtener beneficios.

Para obtener beneficios, la función $B(x)$ debe ser mayor que cero, es decir, $B(x) > 0$ . Además, debemos considerar el rango de horas permitido, que es $0 \le x \le 8$ .

x^2 - x - 6 > 0

Primero, encontramos las raíces de la ecuación cuadrática $x^2 - x - 6 = 0$ :

x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}

x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}

x = \frac{1 \pm 5}{2}

Las dos raíces son:

x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2

x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3

Dado que la parábola $y = x^2 - x - 6$ abre hacia arriba, $B(x) > 0$ cuando $x < -2$ o $x > 3$ . Considerando la restricción del número de horas diarias ( $0 \le x \le 8$ ), la discoteca obtiene beneficios cuando:

3 < x \le 8

Por lo tanto, la discoteca debe permanecer abierta más de 3 horas y hasta 8 horas para obtener beneficios.

c) En qué momento se tienen las mayores pérdidas y a cuánto ascienden.

Las mayores pérdidas corresponden al valor mínimo de la función beneficio $B(x)$ en el intervalo $0 \le x \le 8$ . Para encontrar los extremos, calculamos la primera derivada de $B(x)$ y la igualamos a cero.

B(x) = x^2 - x - 6

B'(x) = 2x - 1

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5

El punto crítico $x = 0.5$ se encuentra dentro del intervalo $[0, 8]$ . Evaluamos $B(x)$ en los extremos del intervalo y en el punto crítico:

B(0) = 0^2 - 0 - 6 = -6

B(0.5) = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25

B(8) = 8^2 - 8 - 6 = 64 - 8 - 6 = 50

El valor mínimo de $B(x)$ en el intervalo $[0, 8]$ es $-6.25$ miles de euros. Este valor representa la mayor pérdida. Por lo tanto:Las mayores pérdidas se tienen cuando la discoteca permanece abierta $0.5$ horas (30 minutos).Las pérdidas ascienden a $6.25$ miles de euros.

d) El tiempo que debe permanecer abierta para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende.

Según la evaluación de $B(x)$ en el punto crítico y los extremos del intervalo realizada en el apartado anterior:

B(0) = -6

B(0.5) = -6.25

B(8) = 50

El valor máximo de $B(x)$ en el intervalo $0 \le x \le 8$ es $50$ miles de euros. Por lo tanto:La discoteca debe permanecer abierta $8$ horas para obtener el máximo beneficio.El máximo beneficio asciende a $50$ miles de euros.