AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T3: Vibraciones y ondas
Ondas estacionarias
Problema
2019 · Extraordinaria · Reserva
3B-b
Examen

Una onda viene dada por la ecuación: y(x,t)=0,4cos⁡(π/2⋅x)cos⁡(2π⋅t)y(x,t) = 0,4 \cos (\pi/2 \cdot x) \cos (2\pi \cdot t) (SI)

b) Indique de qué tipo de onda se trata y calcule su longitud de onda, frecuencia, y la velocidad y aceleración de oscilación de un punto situado en x=2 mx = 2 \text{ m} para t=0,25 st = 0,25 \text{ s}.
Ecuación de ondaVelocidad de oscilaciónOndas estacionarias
b) La ecuación de onda dada es y(x,t)=0,4cos⁡(π/2⋅x)cos⁡(2π⋅t)y(x,t) = 0,4 \cos (\pi/2 \cdot x) \cos (2\pi \cdot t). Esta forma corresponde a la de una onda estacionaria, ya que la función de onda se expresa como el producto de una función que depende únicamente de la posición (xx) y otra que depende únicamente del tiempo (tt). Su forma general es y(x,t)=Amaxcos⁡(kx)cos⁡(ωt)y(x,t) = A_{max} \cos(kx) \cos(\omega t) (o funciones seno).

De la ecuación de la onda, identificamos el número de onda kk y la frecuencia angular ω\omega:

k=π2 rad/mk = \frac{\pi}{2} \text{ rad/m}
ω=2π rad/s\omega = 2\pi \text{ rad/s}

Cálculo de la longitud de onda (λ\lambda):

k=2πλk = \frac{2\pi}{\lambda}
λ=2πk=2ππ/2=4 m\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4 \text{ m}

Cálculo de la frecuencia (ff):

ω=2πf\omega = 2\pi f
f=ω2π=2π2π=1 Hzf = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \text{ Hz}

La velocidad de oscilación de un punto se obtiene derivando la ecuación de onda respecto al tiempo:

vy(x,t)=∂y∂t=∂∂t[0,4cos⁡(π/2⋅x)cos⁡(2π⋅t)]v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [0,4 \cos (\pi/2 \cdot x) \cos (2\pi \cdot t)]
vy(x,t)=0,4cos⁡(π/2⋅x)[−2πsin⁡(2π⋅t)]v_y(x,t) = 0,4 \cos (\pi/2 \cdot x) [-2\pi \sin (2\pi \cdot t)]
vy(x,t)=−0,8πcos⁡(π/2⋅x)sin⁡(2π⋅t)v_y(x,t) = -0,8\pi \cos (\pi/2 \cdot x) \sin (2\pi \cdot t)

Evaluamos la velocidad en x=2 mx = 2 \text{ m} y t=0,25 st = 0,25 \text{ s}:

vy(2,0,25)=−0,8πcos⁡(π/2⋅2)sin⁡(2π⋅0,25)v_y(2, 0,25) = -0,8\pi \cos (\pi/2 \cdot 2) \sin (2\pi \cdot 0,25)
vy(2,0,25)=−0,8πcos⁡(π)sin⁡(π/2)v_y(2, 0,25) = -0,8\pi \cos (\pi) \sin (\pi/2)
vy(2,0,25)=−0,8π(−1)(1)=0,8π m/sv_y(2, 0,25) = -0,8\pi (-1) (1) = 0,8\pi \text{ m/s}

La aceleración de oscilación de un punto se obtiene derivando la velocidad de oscilación respecto al tiempo:

ay(x,t)=∂vy∂t=∂∂t[−0,8πcos⁡(π/2⋅x)sin⁡(2π⋅t)]a_y(x,t) = \frac{\partial v_y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [-0,8\pi \cos (\pi/2 \cdot x) \sin (2\pi \cdot t)]
ay(x,t)=−0,8πcos⁡(π/2⋅x)[2πcos⁡(2π⋅t)]a_y(x,t) = -0,8\pi \cos (\pi/2 \cdot x) [2\pi \cos (2\pi \cdot t)]
ay(x,t)=−1,6π2cos⁡(π/2⋅x)cos⁡(2π⋅t)a_y(x,t) = -1,6\pi^2 \cos (\pi/2 \cdot x) \cos (2\pi \cdot t)

Evaluamos la aceleración en x=2 mx = 2 \text{ m} y t=0,25 st = 0,25 \text{ s}:

ay(2,0,25)=−1,6π2cos⁡(π/2⋅2)cos⁡(2π⋅0,25)a_y(2, 0,25) = -1,6\pi^2 \cos (\pi/2 \cdot 2) \cos (2\pi \cdot 0,25)
ay(2,0,25)=−1,6π2cos⁡(π)cos⁡(π/2)a_y(2, 0,25) = -1,6\pi^2 \cos (\pi) \cos (\pi/2)
ay(2,0,25)=−1,6π2(−1)(0)=0 m/s2a_y(2, 0,25) = -1,6\pi^2 (-1) (0) = 0 \text{ m/s}^2