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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2024 · Ordinaria · Titular
1B-b
Examen
b) Una bobina formada por 100100 espiras circulares de radio 5 cm5 \text{ cm} está situada en el interior de un campo magnético uniforme dirigido en la dirección del eje de la bobina y de módulo B(t)=0,1−0,1t2B(t) = 0,1 - 0,1 t^2 (S.I.). Determine: i) el flujo magnético en la bobina para t=2 st = 2 \text{ s}; ii) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para t=2 st = 2 \text{ s}; iii) el instante de tiempo en el que la fuerza electromotriz inducida es nula.
Ley de Faraday-LenzBobinaFlujo magnético variable

Para resolver el ejercicio, primero identificamos los parámetros de la bobina y el campo magnético. El área SS de una de las espiras circulares de radio r=5 cm=0,05 mr = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m} es:

S=π⋅r2=π⋅(0,05 m)2=2,5⋅10−3π m2S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,05 \text{ m})^2 = 2,5 \cdot 10^{-3} \pi \text{ m}^2
i) El flujo magnético Φ\Phi para una bobina de NN espiras viene dado por la expresión:
\Phi(t) = N \cdot B(t) \cdot S \cdot \cos(\theta)

Dado que el campo está dirigido en la dirección del eje de la bobina, el ángulo entre el vector campo B⃗\vec{B} y el vector superficie S⃗\vec{S} es θ=0∘\theta = 0^\circ, por lo que cos⁡(0∘)=1\cos(0^\circ) = 1. Calculamos el valor del campo magnético para t=2 st = 2 \text{ s}:

B(2)=0,1−0,1⋅(2)2=0,1−0,4=−0,3 TB(2) = 0,1 - 0,1 \cdot (2)^2 = 0,1 - 0,4 = -0,3 \text{ T}

Sustituimos los valores para hallar el flujo total en la bobina para t=2 st = 2 \text{ s}:

Φ(2)=100⋅(−0,3 T)⋅(2,5⋅10−3π m2)⋅1=−0,075π Wb≈−0,236 Wb\Phi(2) = 100 \cdot (-0,3 \text{ T}) \cdot (2,5 \cdot 10^{-3} \pi \text{ m}^2) \cdot 1 = -0,075\pi \text{ Wb} \approx -0,236 \text{ Wb}
ii) La fuerza electromotriz inducida ε\varepsilon se calcula mediante la ley de Faraday-Lenz, que establece que es igual a la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:
ε=−dΦdt=−N⋅S⋅dBdt\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -N \cdot S \cdot \frac{dB}{dt}

Derivamos la función del campo magnético respecto al tiempo:

dBdt=ddt(0,1−0,1t2)=−0,2t\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(0,1 - 0,1t^2) = -0,2t

Sustituyendo en la fórmula de la fuerza electromotriz:

ε(t)=−100⋅(2,5⋅10−3π)⋅(−0,2t)=0,05πt V\varepsilon(t) = -100 \cdot (2,5 \cdot 10^{-3} \pi) \cdot (-0,2t) = 0,05\pi t \text{ V}

Para t=2 st = 2 \text{ s}:

ε(2)=0,05π⋅2=0,1π V≈0,314 V\varepsilon(2) = 0,05\pi \cdot 2 = 0,1\pi \text{ V} \approx 0,314 \text{ V}
iii) Para determinar el instante en el que la fuerza electromotriz inducida es nula, igualamos la expresión de ε(t)\varepsilon(t) a cero:
0,05πt=00,05\pi t = 0

Resolviendo la ecuación para tt:

t=0 st = 0 \text{ s}