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T4: Funciones
Continuidad, derivabilidad e integración
Problema
2022 · Extraordinaria · Reserva
3
Examen

Se considera la función

f(x)={a(x+1)2−3≤x≤1bx22+21<x≤2f(x) = \begin{cases} a(x+1)^2 & -3 \le x \le 1 \\ \frac{bx^2}{2} + 2 & 1 < x \le 2 \end{cases}

con aa y bb números reales.

a) Determine los valores de aa y bb para que ff sea continua y derivable.b) Para a=1a = 1 y b=2b = 2, esboce la gráfica de la función ff y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de ff, el eje OXOX y las rectas x=−2x = -2 y x=1x = 1.
Función definida a trozosDerivabilidadCálculo de áreas+1
a) Determine los valores de aa y bb para que ff sea continua y derivable.

Para que la función sea continua, debe serlo en el punto de cambio de definición x=1x=1. Los límites laterales deben ser iguales y coincidir con el valor de la función en ese punto.

lim⁡x→1−f(x)=a(1+1)2=4a\lim_{x \to 1^-} f(x) = a(1+1)^2 = 4a
lim⁡x→1+f(x)=b(1)22+2=b2+2\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{b(1)^2}{2} + 2 = \frac{b}{2} + 2
f(1)=a(1+1)2=4af(1) = a(1+1)^2 = 4a

Igualando los límites y el valor de la función:

4a=b2+2  ⟹  8a=b+4  ⟹  b=8a−4(1)4a = \frac{b}{2} + 2 \implies 8a = b + 4 \implies b = 8a - 4 \quad (1)

Para que la función sea derivable, primero debe ser continua (condición ya establecida) y las derivadas laterales deben ser iguales en x=1x=1.Calculamos la función derivada f′(x)f'(x):

f′(x)={2a(x+1)−3<x<1bx1<x<2f'(x) = \begin{cases} 2a(x+1) & -3 < x < 1 \\ bx & 1 < x < 2 \end{cases}

Ahora, igualamos las derivadas laterales en x=1x=1:

lim⁡x→1−f′(x)=2a(1+1)=4a\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 2a(1+1) = 4a
lim⁡x→1+f′(x)=b(1)=b\lim_{x \to 1^+} f'(x) = b(1) = b
4a=b(2)4a = b \quad (2)

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2):

{b=8a−4b=4a\begin{cases} b = 8a - 4 \\ b = 4a \end{cases}

Sustituyendo (2) en (1):

4a=8a−4  ⟹  4=4a  ⟹  a=14a = 8a - 4 \implies 4 = 4a \implies a = 1

Sustituyendo a=1a=1 en (2):

b=4(1)  ⟹  b=4b = 4(1) \implies b = 4

Por lo tanto, los valores son a=1a=1 y b=4b=4.

b) Para a=1a = 1 y b=2b = 2, esboce la gráfica de la función ff y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de ff, el eje OXOX y las rectas x=−2x = -2 y x=1x = 1.

Sustituimos a=1a=1 y b=2b=2 en la función original:

f(x)={(x+1)2−3≤x≤12x22+21<x≤2={(x+1)2−3≤x≤1x2+21<x≤2f(x) = \begin{cases} (x+1)^2 & -3 \le x \le 1 \\ \frac{2x^2}{2} + 2 & 1 < x \le 2 \end{cases} = \begin{cases} (x+1)^2 & -3 \le x \le 1 \\ x^2 + 2 & 1 < x \le 2 \end{cases}

Para esbozar la gráfica:En el intervalo [−3,1][-3, 1], f(x)=(x+1)2f(x) = (x+1)^2 es una parábola con vértice en (−1,0)(-1, 0).Puntos clave para la primera parte:

f(−3)=(−3+1)2=4f(-3) = (-3+1)^2 = 4
f(−1)=(−1+1)2=0f(-1) = (-1+1)^2 = 0
f(0)=(0+1)2=1f(0) = (0+1)^2 = 1
f(1)=(1+1)2=4f(1) = (1+1)^2 = 4

En el intervalo (1,2](1, 2], f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 es una parábola con vértice en (0,2)(0, 2).Puntos clave para la segunda parte:Aunque x=1x=1 no está incluido en este tramo, calculamos el valor para observar la discontinuidad:

lim⁡x→1+f(x)=12+2=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 + 2 = 3
f(2)=22+2=6f(2) = 2^2 + 2 = 6

La gráfica se compone de un segmento de parábola desde (−3,4)(-3,4) que pasa por el vértice (−1,0)(-1,0) hasta (1,4)(1,4). Luego, hay un salto en x=1x=1, y la función continúa con otro segmento de parábola desde un punto abierto en (1,3)(1,3) hasta (2,6)(2,6).Cálculo del área del recinto limitado por la gráfica de ff, el eje OXOX y las rectas x=−2x = -2 y x=1x = 1.El recinto está definido en el intervalo [−2,1][-2, 1]. En este intervalo, la función es f(x)=(x+1)2f(x) = (x+1)^2. Dado que (x+1)2≥0(x+1)^2 \ge 0 para todo xx, el área se calcula directamente mediante la integral definida:

Aˊrea=∫−21(x+1)2dx\text{Área} = \int_{-2}^{1} (x+1)^2 dx

Realizamos el cambio de variable u=x+1u = x+1, de donde du=dxdu = dx. Los nuevos límites de integración son:

x=−2  ⟹  u=−2+1=−1x = -2 \implies u = -2+1 = -1
x=1  ⟹  u=1+1=2x = 1 \implies u = 1+1 = 2
Aˊrea=∫−12u2du\text{Área} = \int_{-1}^{2} u^2 du
Aˊrea=[u33]−12\text{Área} = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{2}
Aˊrea=(2)33−(−1)33\text{Área} = \frac{(2)^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}
Aˊrea=83−−13\text{Área} = \frac{8}{3} - \frac{-1}{3}
Aˊrea=83+13\text{Área} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3}
Aˊrea=93=3\text{Área} = \frac{9}{3} = 3

El área del recinto es 33 unidades cuadradas.