T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Probabilidad condicionada

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Se ha llevado a cabo una encuesta en un centro educativo para saber qué actividades extraescolares se realizan por la tarde. El $80\%$ de los encuestados practican deporte o estudian idiomas, el $35\%$ realizan ambas actividades y el $60\%$ no estudian idiomas.

a) Elegido un estudiante de ese centro al azar, calcule la probabilidad de que:i) Practique deporte y no estudie idiomas.ii) Estudie idiomas y no practique deporte.iii) Haga solamente una de las dos actividades.iv) No haga ninguna de las dos actividades.b) ¿Son independientes los sucesos “Practicar deporte” y “Estudiar idiomas”?

Independencia de sucesosProbabilidad de la uniónEncuesta

Definimos los siguientes sucesos: $D$ : el estudiante practica deporte. $I$ : el estudiante estudia idiomas.A partir del enunciado, extraemos las siguientes probabilidades:El $80\%$ de los encuestados practican deporte o estudian idiomas: $P(D \cup I) = 0.80$ El $35\%$ realizan ambas actividades: $P(D \cap I) = 0.35$ El $60\%$ no estudian idiomas: $P(I^c) = 0.60$ Calculamos las probabilidades necesarias a partir de los datos proporcionados:

P(I) = 1 - P(I^c) = 1 - 0.60 = 0.40

Utilizamos la fórmula de la unión de sucesos para calcular $P(D)$ :

P(D \cup I) = P(D) + P(I) - P(D \cap I)

0.80 = P(D) + 0.40 - 0.35

0.80 = P(D) + 0.05

P(D) = 0.80 - 0.05 = 0.75

a) Elegido un estudiante de ese centro al azar, calcule la probabilidad de que:i) Practique deporte y no estudie idiomas.

Esta probabilidad es $P(D \cap I^c)$ . Sabemos que $P(D) = P(D \cap I) + P(D \cap I^c)$ , por lo tanto:

P(D \cap I^c) = P(D) - P(D \cap I) = 0.75 - 0.35 = 0.40

ii) Estudie idiomas y no practique deporte.

Esta probabilidad es $P(I \cap D^c)$ . Sabemos que $P(I) = P(I \cap D) + P(I \cap D^c)$ , por lo tanto:

P(I \cap D^c) = P(I) - P(D \cap I) = 0.40 - 0.35 = 0.05

iii) Haga solamente una de las dos actividades.

Esta probabilidad corresponde a la unión de los sucesos "Practicar deporte y no estudiar idiomas" y "Estudiar idiomas y no practicar deporte", que son mutuamente excluyentes. También se puede calcular como la probabilidad de la unión menos la probabilidad de la intersección.

P(\text{solo una actividad}) = P(D \cap I^c) + P(I \cap D^c) = 0.40 + 0.05 = 0.45

O bien:

P(\text{solo una actividad}) = P(D \cup I) - P(D \cap I) = 0.80 - 0.35 = 0.45

iv) No haga ninguna de las dos actividades.

Esta probabilidad es el complemento del suceso "Practicar deporte o estudiar idiomas".

P((D \cup I)^c) = 1 - P(D \cup I) = 1 - 0.80 = 0.20

b) ¿Son independientes los sucesos “Practicar deporte” y “Estudiar idiomas”?

Dos sucesos $D$ e $I$ son independientes si y solo si $P(D \cap I) = P(D) \cdot P(I)$ .Calculamos el producto de las probabilidades individuales:

P(D) \cdot P(I) = 0.75 \cdot 0.40 = 0.30

Comparamos este valor con la probabilidad de la intersección dada:

P(D \cap I) = 0.35

Dado que $0.35 \neq 0.30$ , los sucesos "Practicar deporte" y "Estudiar idiomas" no son independientes.