T5: Integrales · Cálculo de primitivas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Cálculo de primitivas

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = e^x \text{sen}(2x)$ . Halla la primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 0)$ .

IntegralesPrimitiva

Para hallar la primitiva de $f(x) = e^x \text{sen}(2x)$ , necesitamos calcular la integral indefinida $\int e^x \text{sen}(2x) dx$ . Utilizaremos el método de integración por partes dos veces.Recordemos la fórmula de integración por partes: $\int u \text{ } dv = uv - \int v \text{ } du$ .

Primera integración por partes

Sea $I = \int e^x \text{sen}(2x) dx$ .

u = \text{sen}(2x) \implies du = 2\text{cos}(2x) dx

dv = e^x dx \implies v = e^x

I = e^x \text{sen}(2x) - \int e^x (2\text{cos}(2x)) dx

I = e^x \text{sen}(2x) - 2 \int e^x \text{cos}(2x) dx

Segunda integración por partes

Ahora, integramos por partes la integral $\int e^x \text{cos}(2x) dx$ .

u = \text{cos}(2x) \implies du = -2\text{sen}(2x) dx

dv = e^x dx \implies v = e^x

\int e^x \text{cos}(2x) dx = e^x \text{cos}(2x) - \int e^x (-2\text{sen}(2x)) dx

\int e^x \text{cos}(2x) dx = e^x \text{cos}(2x) + 2 \int e^x \text{sen}(2x) dx

Sustituimos este resultado en la expresión original para $I$ :

I = e^x \text{sen}(2x) - 2 [e^x \text{cos}(2x) + 2 \int e^x \text{sen}(2x) dx]

I = e^x \text{sen}(2x) - 2e^x \text{cos}(2x) - 4 \int e^x \text{sen}(2x) dx

Observamos que la integral original $I$ aparece en el lado derecho. Agrupamos los términos con $I$ :

I = e^x \text{sen}(2x) - 2e^x \text{cos}(2x) - 4I

I + 4I = e^x \text{sen}(2x) - 2e^x \text{cos}(2x)

5I = e^x (\text{sen}(2x) - 2\text{cos}(2x))

Finalmente, la primitiva general $F(x)$ es:

F(x) = I = \frac{1}{5} e^x (\text{sen}(2x) - 2\text{cos}(2x)) + C

Hallar la constante C

Para encontrar la primitiva cuya gráfica pasa por el punto $(0, 0)$ , sustituimos $x=0$ y $F(x)=0$ en la expresión de $F(x)$ :

0 = \frac{1}{5} e^0 (\text{sen}(2 \cdot 0) - 2\text{cos}(2 \cdot 0)) + C

0 = \frac{1}{5} (1) (\text{sen}(0) - 2\text{cos}(0)) + C

0 = \frac{1}{5} (0 - 2 \cdot 1) + C

0 = \frac{1}{5} (-2) + C

0 = -\frac{2}{5} + C

C = \frac{2}{5}

Primitiva final

La primitiva de $f(x)$ cuya gráfica pasa por el punto $(0, 0)$ es:

F(x) = \frac{1}{5} e^x (\text{sen}(2x) - 2\text{cos}(2x)) + \frac{2}{5}