AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2020 · Extraordinaria · Reserva
8-b
Examen
b) Determine la diferencia de potencial necesaria para acelerar un electrón desde el reposo y lograr que tenga asociada la misma longitud de onda de De Broglie que un neutrón de 8⋅10−19 J8 \cdot 10^{-19} \text{ J} de energía cinética.

Datos: me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}; mn=1,7⋅10−27 kgm_n = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}

Longitud de onda de De BroglieDiferencia de potencial
b) Para determinar la diferencia de potencial necesaria, primero calcularemos la longitud de onda de De Broglie del neutrón y luego la energía cinética que debe tener el electrón para tener la misma longitud de onda. Finalmente, usaremos esta energía para encontrar la diferencia de potencial.

La energía cinética del neutrón se relaciona con su momento lineal (pnp_n) mediante la expresión:

Ec,n=pn22mn  ⟹  pn=2mnEc,nE_{c,n} = \frac{p_n^2}{2m_n} \implies p_n = \sqrt{2m_n E_{c,n}}

Sustituyendo los valores dados:

pn=2⋅(1,7⋅10−27 kg)⋅(8⋅10−19 J)=2,72⋅10−45 kg2m2s−2=5,215⋅10−23 kg⋅m/sp_n = \sqrt{2 \cdot (1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (8 \cdot 10^{-19} \text{ J})} = \sqrt{2,72 \cdot 10^{-45}} \text{ kg}^2 \text{m}^2 \text{s}^{-2} = 5,215 \cdot 10^{-23} \text{ kg} \cdot \text{m/s}

La longitud de onda de De Broglie para el neutrón es:

λn=hpn\lambda_n = \frac{h}{p_n}

Sustituyendo el momento del neutrón:

λn=6,63⋅10−34 J⋅s5,215⋅10−23 kg⋅m/s=1,271⋅10−11 m\lambda_n = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{5,215 \cdot 10^{-23} \text{ kg} \cdot \text{m/s}} = 1,271 \cdot 10^{-11} \text{ m}

Ahora, el electrón debe tener la misma longitud de onda de De Broglie, λe=λn=1,271⋅10−11 m\lambda_e = \lambda_n = 1,271 \cdot 10^{-11} \text{ m}. Calculamos su momento lineal:

pe=hλep_e = \frac{h}{\lambda_e}

Sustituyendo:

pe=6,63⋅10−34 J⋅s1,271⋅10−11 m=5,216⋅10−23 kg⋅m/sp_e = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{1,271 \cdot 10^{-11} \text{ m}} = 5,216 \cdot 10^{-23} \text{ kg} \cdot \text{m/s}

La energía cinética del electrón (Ec,eE_{c,e}) se calcula a partir de su momento lineal y su masa (mem_e):

Ec,e=pe22meE_{c,e} = \frac{p_e^2}{2m_e}

Sustituyendo los valores:

Ec,e=(5,216⋅10−23 kg⋅m/s)22⋅(9,1⋅10−31 kg)=2,721⋅10−45 kg2m2s−21,82⋅10−30 kg=1,495⋅10−15 JE_{c,e} = \frac{(5,216 \cdot 10^{-23} \text{ kg} \cdot \text{m/s})^2}{2 \cdot (9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg})} = \frac{2,721 \cdot 10^{-45} \text{ kg}^2 \text{m}^2 \text{s}^{-2}}{1,82 \cdot 10^{-30} \text{ kg}} = 1,495 \cdot 10^{-15} \text{ J}

Finalmente, la energía cinética que adquiere un electrón al ser acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial VV es Ec,e=∣qe∣VE_{c,e} = |q_e| V, donde qeq_e es la carga elemental del electrón (1,6⋅10−19 C1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}). Despejando VV:

V=Ec,e∣qe∣V = \frac{E_{c,e}}{|q_e|}

Sustituyendo la energía cinética calculada y la carga elemental:

V=1,495⋅10−15 J1,6⋅10−19 C=9343,75 VV = \frac{1,495 \cdot 10^{-15} \text{ J}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}} = 9343,75 \text{ V}

La diferencia de potencial necesaria para acelerar el electrón es 9,34⋅103 V9,34 \cdot 10^3 \text{ V}.