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T6: Teoría de muestras
Muestreo y media muestral
Problema
2021 · Ordinaria · Titular
7
Examen
a) En una Escuela Politécnica hay matriculados en el último curso 60 estudiantes de Ingeniería Eléctrica, 40 de Ingeniería Informática, 30 de Ingeniería Civil, 50 de Ingeniería Mecánica y 20 de Ingeniería Aeronáutica. Se quiere hacer una encuesta al 20 %20 \ \% de estos estudiantes, de manera proporcional al número de matriculados en cada titulación. 1. ¿Qué tipo de muestreo se debe emplear? 2. ¿Cuántos alumnos debe haber en la muestra y cuántos de cada titulación?b) Dada la población {a,10,12,11,18}\{a, 10, 12, 11, 18\}, ¿cuánto debe valer aa, sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 13.2?
Muestreo estratificadoMedia muestralPoblación
a) Muestreo y cálculo de la muestra
1. El tipo de muestreo que se debe emplear es el muestreo estratificado por afijación proporcional. Esto se debe a que se quiere que la muestra refleje la misma proporción de estudiantes de cada titulación que la población total.2. Primero, calculamos el número total de estudiantes matriculados en el último curso de la Escuela Politécnica:
N = 60 \text{ (Eléctrica)} + 40 \text{ (Informática)} + 30 \text{ (Civil)} + 50 \text{ (Mecánica)} + 20 \text{ (Aeronáutica)} = 200 \text{ estudiantes}

Se quiere encuestar al 20 %20 \ \% de estos estudiantes. Por lo tanto, el tamaño total de la muestra es:

n=0.20×200=40 estudiantesn = 0.20 \times 200 = 40 \text{ estudiantes}

Ahora, calculamos cuántos alumnos debe haber de cada titulación en la muestra, manteniendo la proporción original:Ingeniería Eléctrica: 60200×40=0.3×40=12 alumnos\frac{60}{200} \times 40 = 0.3 \times 40 = 12 \text{ alumnos} Ingeniería Informática: 40200×40=0.2×40=8 alumnos\frac{40}{200} \times 40 = 0.2 \times 40 = 8 \text{ alumnos} Ingeniería Civil: 30200×40=0.15×40=6 alumnos\frac{30}{200} \times 40 = 0.15 \times 40 = 6 \text{ alumnos} Ingeniería Mecánica: 50200×40=0.25×40=10 alumnos\frac{50}{200} \times 40 = 0.25 \times 40 = 10 \text{ alumnos} Ingeniería Aeronáutica: 20200×40=0.1×40=4 alumnos\frac{20}{200} \times 40 = 0.1 \times 40 = 4 \text{ alumnos}

b) Cálculo del valor de $a$
Para un muestreo aleatorio simple, la media de las medias muestrales (μxˉ\mu_{\bar{x}}) es igual a la media de la población (μ\mu).

La población es {a,10,12,11,18}\{a, 10, 12, 11, 18\}. La media de la población es:

μ=a+10+12+11+185=a+515\mu = \frac{a + 10 + 12 + 11 + 18}{5} = \frac{a + 51}{5}

Se nos da que la media de las medias muestrales es 13.213.2. Por lo tanto, podemos igualar la media poblacional a este valor:

a+515=13.2\frac{a + 51}{5} = 13.2
a+51=13.2×5a + 51 = 13.2 \times 5
a+51=66a + 51 = 66
a=66−51a = 66 - 51
a=15a = 15