T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada e independencia — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Probabilidad condicionada e independencia

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

El 80% de los restaurantes de una localidad admite el pago con tarjeta de crédito, el 50% admite pagar mediante el móvil y el 10% no admite el pago con ninguno de estos métodos. Escogido al azar un restaurante de dicha localidad.

a) Calcule la probabilidad de que el restaurante admita:i) alguno de estos dos medios de pago.ii) Pagar con móvil sabiendo que admite pagar con tarjeta de crédito.b) ¿Son independientes los sucesos "Pagar con tarjeta" y "Pagar con móvil"?

ProbabilidadSuceso independienteProbabilidad condicionada

Definimos los siguientes sucesos: $T$ : el restaurante admite pago con tarjeta de crédito. $M$ : el restaurante admite pago con móvil.Las probabilidades dadas son:

P(T) = 0,80

P(M) = 0,50

El 10% no admite el pago con ninguno de estos métodos, lo que significa $P(T^c \cap M^c) = 0,10$ . Por las leyes de De Morgan, sabemos que $P(T^c \cap M^c) = P((T \cup M)^c)$ .

a) Calcule la probabilidad de que el restaurante admita:i) alguno de estos dos medios de pago.

La probabilidad de que admita alguno de estos dos medios de pago es $P(T \cup M)$ . Utilizamos la relación $P(A \cup B) = 1 - P((A \cup B)^c)$ :

P(T \cup M) = 1 - P((T \cup M)^c) = 1 - P(T^c \cap M^c) = 1 - 0,10 = 0,90

Por lo tanto, la probabilidad de que el restaurante admita alguno de estos dos medios de pago es $0,90$ .

ii) Pagar con móvil sabiendo que admite pagar con tarjeta de crédito.

Esto es la probabilidad condicionada $P(M|T)$ . Para calcularla, necesitamos $P(M \cap T)$ . Podemos obtener $P(M \cap T)$ de la fórmula de la unión de sucesos:

P(T \cup M) = P(T) + P(M) - P(T \cap M)

Despejando $P(T \cap M)$ :

P(T \cap M) = P(T) + P(M) - P(T \cup M)

P(T \cap M) = 0,80 + 0,50 - 0,90 = 1,30 - 0,90 = 0,40

Ahora calculamos la probabilidad condicionada $P(M|T)$ :

P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0,40}{0,80} = 0,50

La probabilidad de pagar con móvil sabiendo que admite pagar con tarjeta de crédito es $0,50$ .

b) ¿Son independientes los sucesos "Pagar con tarjeta" y "Pagar con móvil"?

Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Verificamos esta condición para los sucesos $T$ y $M$ .Ya hemos calculado $P(T \cap M) = 0,40$ .Ahora calculamos el producto de las probabilidades individuales:

P(T) \cdot P(M) = 0,80 \cdot 0,50 = 0,40

Dado que $P(T \cap M) = 0,40$ y $P(T) \cdot P(M) = 0,40$ , se cumple la condición de independencia.Por lo tanto, los sucesos "Pagar con tarjeta" y "Pagar con móvil" son independientes.