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T1: Matrices y determinantes
Álgebra matricial
Problema
2021 · Extraordinaria · Titular
5
Examen
EJERCICIO 5

Considera la matriz A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}.

a) Comprueba que A2=−A−1A^2 = -A^{-1}.

Dadas las matrices

B=(1−130−45) y C=(20−321−1)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
b) Calcula la matriz XX que verifica A4X+B=ACA^4X + B = AC.
ÁlgebraInversaEcuaciones matriciales
a) Comprueba que A2=−A−1A^2 = -A^{-1}.

Primero, calculamos A2=A⋅AA^2 = A \cdot A:

A2=(0341−4−5−134)(0341−4−5−134)=(0+3−40−12+120−15+160−4+53+16−154+20−200+3−4−3−12+12−4−15+16)=(−101144−1−3−3)A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3-4 & 0-12+12 & 0-15+16 \\ 0-4+5 & 3+16-15 & 4+20-20 \\ 0+3-4 & -3-12+12 & -4-15+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos A−1A^{-1}. Primero hallamos el determinante de AA:

∣A∣=0∣−4−534∣−3∣1−5−14∣+4∣1−4−13∣=0−3(4−5)+4(3−4)=−3(−1)+4(−1)=3−4=−1|A| = 0 \begin{vmatrix} -4 & -5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 0 - 3(4-5) + 4(3-4) = -3(-1) + 4(-1) = 3 - 4 = -1

A continuación, calculamos la matriz de cofactores CijC_{ij} y su traspuesta para obtener la adjunta de AA, Adj(A)Adj(A):

C11=−1C12=1C13=−1C21=0C22=4C23=−3C31=1C32=4C33=−3Adj(A)=CT=(−101144−1−3−3)C_{11} = -1 \quad C_{12} = 1 \quad C_{13} = -1 \\ C_{21} = 0 \quad C_{22} = 4 \quad C_{23} = -3 \\ C_{31} = 1 \quad C_{32} = 4 \quad C_{33} = -3 \\ Adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

Entonces, A−1=1∣A∣Adj(A)A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A):

A−1=1−1(−101144−1−3−3)=(10−1−1−4−4133)A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos −A−1-A^{-1}:

−A−1=−(10−1−1−4−4133)=(−101144−1−3−3)-A^{-1} = -\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

Como se puede observar, A2=(−101144−1−3−3)A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} y −A−1=(−101144−1−3−3)-A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}, por lo tanto, se comprueba que A2=−A−1A^2 = -A^{-1}.

b) Calcula la matriz XX que verifica A4X+B=ACA^4X + B = AC.

Partimos de la ecuación A4X+B=ACA^4X + B = AC. Despejamos XX:

A4X=AC−BA^4X = AC - B

Para simplificar A4A^4, utilizamos la relación A2=−A−1A^2 = -A^{-1} demostrada en el apartado a):

A4=A2⋅A2=(−A−1)⋅(−A−1)=A−1⋅A−1=(A−1)2A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-A^{-1}) \cdot (-A^{-1}) = A^{-1} \cdot A^{-1} = (A^{-1})^2

También podemos calcular A3A^3:

A3=A⋅A2=A⋅(−A−1)=−AA−1=−IA^3 = A \cdot A^2 = A \cdot (-A^{-1}) = -A A^{-1} = -I

Luego, A4=A⋅A3=A⋅(−I)=−AA^4 = A \cdot A^3 = A \cdot (-I) = -A. Sustituimos esto en la ecuación original:

−AX+B=AC-AX + B = AC

Despejamos −AX-AX:

−AX=AC−B-AX = AC - B

Multiplicamos por −1-1:

AX=B−ACAX = B - AC

Para hallar XX, multiplicamos por A−1A^{-1} por la izquierda:

A−1AX=A−1(B−AC)IX=A−1B−A−1ACX=A−1B−CA^{-1}AX = A^{-1}(B - AC) \\ IX = A^{-1}B - A^{-1}AC \\ X = A^{-1}B - C

Ahora sustituimos las matrices A−1A^{-1}, BB y CC con sus valores. A−1A^{-1} ya la calculamos en el apartado a):

A−1=(10−1−1−4−4133),B=(1−130−45),C=(20−321−1)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

Primero calculamos A−1BA^{-1}B:

A−1B=(10−1−1−4−4133)(1−130−45)=(1+0+4−1+0−5−1−12+161+0−201+9−12−1+0+15)=(5−63−19−214)A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+4 & -1+0-5 \\ -1-12+16 & 1+0-20 \\ 1+9-12 & -1+0+15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -19 \\ -2 & 14 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos X=A−1B−CX = A^{-1}B - C:

X=(5−63−19−214)−(20−321−1)=(5−2−6−03−(−3)−19−2−2−114−(−1))=(3−66−21−315)X = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -19 \\ -2 & 14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-2 & -6-0 \\ 3-(-3) & -19-2 \\ -2-1 & 14-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 6 & -21 \\ -3 & 15 \end{pmatrix}