T3: Vibraciones y ondas · Ecuación de onda — FISICA PEvAU Andalucía 2022

Ecuación de onda

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

C1-b

b) Una onda tiene por ecuación:

y(x,t) = 2 \cdot \text{sen}(3\pi t - \pi x + 3\pi/2) \text{ (S.I.)}

i) Determine los valores de la amplitud, periodo, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda. ii) Calcule razonadamente, para un determinado instante

t

, la diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia de

1 \text{ m}

AmplitudPeriodoLongitud de onda+1

b) i) Determine los valores de la amplitud, periodo, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda.

La ecuación general de una onda armónica transversal que se propaga en la dirección del eje X es:

y(x,t) = A \cdot \text{sen}(\omega t - k x + \phi_0)

Comparando con la ecuación dada: $y(x,t) = 2 \cdot \text{sen}(3\pi t - \pi x + 3\pi/2) \text{ (S.I.)}$ Identificamos los siguientes parámetros:Amplitud ( $A$ ):

A = 2 \text{ m}

Frecuencia angular ( $\omega$ ):

\omega = 3\pi \text{ rad/s}

Número de onda ( $k$ ):

k = \pi \text{ rad/m}

Periodo ( $T$ ):La relación entre la frecuencia angular y el periodo es $\omega = \frac{2\pi}{T}$ . Despejando $T$ :

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi \text{ rad}}{3\pi \text{ rad/s}} = \frac{2}{3} \text{ s} \approx 0.67 \text{ s}

Longitud de onda ( $\lambda$ ):La relación entre el número de onda y la longitud de onda es $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ . Despejando $\lambda$ :

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi \text{ rad}}{\pi \text{ rad/m}} = 2 \text{ m}

Velocidad de propagación ( $v$ ):La velocidad de propagación de la onda se calcula como $v = \frac{\omega}{k}$ :

v = \frac{\omega}{k} = \frac{3\pi \text{ rad/s}}{\pi \text{ rad/m}} = 3 \text{ m/s}

b) ii) Calcule razonadamente, para un determinado instante

t

, la diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia de

1 \text{ m}

La fase de la onda en un punto $x$ y en un instante $t$ viene dada por la expresión dentro del argumento del seno:

\phi(x,t) = 3\pi t - \pi x + 3\pi/2

Para un determinado instante $t$ , la diferencia de fase entre dos puntos $x_1$ y $x_2$ es:

\Delta \phi = \phi(x_2, t) - \phi(x_1, t)

\Delta \phi = (3\pi t - \pi x_2 + 3\pi/2) - (3\pi t - \pi x_1 + 3\pi/2)

\Delta \phi = -\pi x_2 + \pi x_1 = -\pi (x_2 - x_1)

La distancia de separación entre los dos puntos es $\Delta x = |x_2 - x_1| = 1 \text{ m}$ . Sustituyendo en la expresión de la diferencia de fase, y considerando la magnitud:

|\Delta \phi| = k \cdot \Delta x

|\Delta \phi| = \pi \text{ rad/m} \cdot 1 \text{ m} = \pi \text{ rad}

La diferencia de fase entre dos puntos separados $1 \text{ m}$ es $\pi \text{ radianes}$ .