T2: Interacción electromagnética

Campo y trabajo eléctrico

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

B1-b

Una partícula con carga $q_1 = 4 \cdot 10^{-6}\text{ C}$ se encuentra fija en el punto $P_1(-2,0)\text{ m}$ del plano XY.

b) i) Calcule el trabajo que hay que hacer para traer otra partícula con carga

q_2 = 4 \cdot 10^{-6}\text{ C}

desde el infinito hasta el punto

P_2(2,0)\text{ m}

, e interprete su signo. ii) Calcule el campo eléctrico en el punto

P_3(0,3)

considerando las partículas cargadas anteriores en sus respectivos puntos.

Dato: $K = 9 \cdot 10^9\text{ N m}^2\text{ C}^{-2}$

Trabajo electrostáticoCampo eléctrico

b) i) Calcule el trabajo que hay que hacer para traer otra partícula con carga

q_2 = 4 \cdot 10^{-6}\text{ C}

desde el infinito hasta el punto

P_2(2,0)\text{ m}

, e interprete su signo.

El trabajo realizado por un agente externo para traer una carga desde el infinito hasta un punto es igual al cambio en la energía potencial de la carga, o bien, el producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto final y el infinito. Dado que el potencial en el infinito es cero, el trabajo es:

W_{\infty \to P_2} = q_2 \cdot (V_{P_2} - V_{\infty}) = q_2 \cdot V_{P_2}

El potencial $V_{P_2}$ en el punto $P_2(2,0)\text{ m}$ es creado por la carga $q_1$ situada en $P_1(-2,0)\text{ m}$ . La distancia entre $q_1$ y $P_2$ es:

r_{12} = |P_2 - P_1| = |(2,0) - (-2,0)| = |(4,0)| = 4\text{ m}

Ahora calculamos el potencial $V_{P_2}$ :

V_{P_2} = K \frac{q_1}{r_{12}} = (9 \cdot 10^9\text{ N m}^2\text{ C}^{-2}) \frac{4 \cdot 10^{-6}\text{ C}}{4\text{ m}} = 9 \cdot 10^3\text{ V}

Finalmente, calculamos el trabajo:

W_{\infty \to P_2} = q_2 \cdot V_{P_2} = (4 \cdot 10^{-6}\text{ C}) \cdot (9 \cdot 10^3\text{ V}) = 36 \cdot 10^{-3}\text{ J}

El trabajo que hay que hacer para traer la carga $q_2$ desde el infinito hasta el punto $P_2$ es $36 \cdot 10^{-3}\text{ J}$ . Interpretación del signo: El trabajo es positivo. Esto significa que un agente externo debe realizar trabajo contra el campo eléctrico de $q_1$ para mover $q_2$ desde el infinito hasta $P_2$ . Esto es esperable, ya que ambas cargas son positivas y se repelen, por lo que es necesario aplicar una fuerza para acercarlas.

b) ii) Calcule el campo eléctrico en el punto

P_3(0,3)

considerando las partículas cargadas anteriores en sus respectivos puntos.

El campo eléctrico en el punto $P_3$ será la suma vectorial de los campos eléctricos creados por $q_1$ en $P_1$ y $q_2$ en $P_2$ . Ambas cargas son positivas, por lo que los vectores campo eléctrico apuntarán hacia afuera de las cargas.

Primero calculamos el campo $\vec{E}_1$ generado por $q_1$ en $P_3$ : Coordenadas: $P_1(-2,0)$ y $P_3(0,3)$ . Vector posición relativa: $\vec{r}_{13} = P_3 - P_1 = (0 - (-2))\hat{i} + (3 - 0)\hat{j} = 2\hat{i} + 3\hat{j}\text{ m}$ . Módulo de la distancia: $r_{13} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\text{ m}$ . Vector unitario: $\hat{u}_{13} = \frac{\vec{r}_{13}}{r_{13}} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j}}{\sqrt{13}}$ .

\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_{13}^2} \hat{u}_{13} = (9 \cdot 10^9) \frac{4 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{13})^2} \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j}}{\sqrt{13}} \right) = \frac{36 \cdot 10^3}{13} \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j}}{\sqrt{13}} \right)

\vec{E}_1 = \frac{36 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}} (2\hat{i} + 3\hat{j})\text{ N/C}

Ahora calculamos el campo $\vec{E}_2$ generado por $q_2$ en $P_3$ : Coordenadas: $P_2(2,0)$ y $P_3(0,3)$ . Vector posición relativa: $\vec{r}_{23} = P_3 - P_2 = (0 - 2)\hat{i} + (3 - 0)\hat{j} = -2\hat{i} + 3\hat{j}\text{ m}$ . Módulo de la distancia: $r_{23} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\text{ m}$ . Vector unitario: $\hat{u}_{23} = \frac{\vec{r}_{23}}{r_{23}} = \frac{-2\hat{i} + 3\hat{j}}{\sqrt{13}}$ .

\vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_{23}^2} \hat{u}_{23} = (9 \cdot 10^9) \frac{4 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{13})^2} \left( \frac{-2\hat{i} + 3\hat{j}}{\sqrt{13}} \right) = \frac{36 \cdot 10^3}{13} \left( \frac{-2\hat{i} + 3\hat{j}}{\sqrt{13}} \right)

\vec{E}_2 = \frac{36 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}} (-2\hat{i} + 3\hat{j})\text{ N/C}

El campo eléctrico total en $P_3$ es la suma vectorial de $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ :

\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2

\vec{E} = \frac{36 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}} (2\hat{i} + 3\hat{j}) + \frac{36 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}} (-2\hat{i} + 3\hat{j})

\vec{E} = \frac{36 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}} [(2\hat{i} + 3\hat{j}) + (-2\hat{i} + 3\hat{j})]

\vec{E} = \frac{36 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}} (6\hat{j}) = \frac{216 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}}\hat{j}\text{ N/C}

Para obtener un valor numérico aproximado:

\vec{E} \approx \frac{216000}{13 \cdot 3.6056}\hat{j} \approx \frac{216000}{46.8728}\hat{j} \approx 4608.2\hat{j}\text{ N/C}

El campo eléctrico en el punto $P_3(0,3)$ es $\vec{E} = \frac{216 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}}\hat{j}\text{ N/C}$ (o aproximadamente $4608.2\hat{j}\text{ N/C}$ ). La componente en x se anula debido a la simetría del problema.