T2: Interacción electromagnética

Cargas puntuales

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

6-b

Una carga de $3 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ está situada en el origen de un sistema de coordenadas. Una segunda carga puntual de $-4 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ se coloca en el punto $(0,4) \text{ m}$ .

b) Ayudándose de un esquema, calcule el campo y el potencial eléctrico en el punto

(3,0) \text{ m}

Dato: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$

Campo eléctricoPotencial eléctricoCargas puntuales

b) Ayudándose de un esquema, calcule el campo y el potencial eléctrico en el punto

(3,0) \text{ m}

Definimos las cargas y el punto de interés:

q_1 = 3 \cdot 10^{-9} \text{ C} \quad \text{en } (0,0) \text{ m} \\
q_2 = -4 \cdot 10^{-9} \text{ C} \quad \text{en } (0,4) \text{ m} \\
Punto de interés: P = (3,0) \text{ m}

Primero, calculamos las distancias desde cada carga al punto P.

r_1 = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3 \text{ m} \\
r_2 = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

A continuación, se muestra un esquema de las cargas, el punto de interés y los vectores del campo eléctrico.

Cálculo del campo eléctrico $\vec{E}$ en el punto P.

\vec{E} = K \frac{q}{r^2} \hat{u}

Campo eléctrico debido a $q_1$ ( $E_1$ ):

\hat{u}_{1P} = \frac{(3-0)\hat{i} + (0-0)\hat{j}}{r_1} = \frac{3\hat{i}}{3} = \hat{i} \\
\vec{E_1} = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \frac{3 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(3 \text{ m})^2} \hat{i} \\
\vec{E_1} = (9 \cdot 10^9) \frac{3 \cdot 10^{-9}}{9} \hat{i} = 3 \hat{i} \text{ N/C}

Campo eléctrico debido a $q_2$ ( $E_2$ ):

\hat{u}_{2P} = \frac{(3-0)\hat{i} + (0-4)\hat{j}}{r_2} = \frac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{5} = 0.6\hat{i} - 0.8\hat{j} \\
\vec{E_2} = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \frac{-4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(5 \text{ m})^2} (0.6\hat{i} - 0.8\hat{j}) \\
\vec{E_2} = (9 \cdot 10^9) \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{25} (0.6\hat{i} - 0.8\hat{j}) \\
\vec{E_2} = -1.44 (0.6\hat{i} - 0.8\hat{j}) = -0.864\hat{i} + 1.152\hat{j} \text{ N/C}

El campo eléctrico total en el punto P es la suma vectorial de los campos individuales:

\vec{E_P} = \vec{E_1} + \vec{E_2} = (3\hat{i}) + (-0.864\hat{i} + 1.152\hat{j}) \\
\vec{E_P} = (3 - 0.864)\hat{i} + 1.152\hat{j} \\
\vec{E_P} = 2.136\hat{i} + 1.152\hat{j} \text{ N/C}

La magnitud del campo eléctrico resultante es:

|\vec{E_P}| = \sqrt{(2.136)^2 + (1.152)^2} = \sqrt{4.562 + 1.327} = \sqrt{5.889} \approx 2.427 \text{ N/C}

Cálculo del potencial eléctrico $V$ en el punto P.

V = K \frac{q}{r}

Potencial eléctrico debido a $q_1$ ( $V_1$ ):

V_1 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \frac{3 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{3 \text{ m}} \\
V_1 = 9 \text{ V}

Potencial eléctrico debido a $q_2$ ( $V_2$ ):

V_2 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \frac{-4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{5 \text{ m}} \\
V_2 = -7.2 \text{ V}

El potencial eléctrico total en el punto P es la suma escalar de los potenciales individuales:

V_P = V_1 + V_2 = 9 \text{ V} + (-7.2 \text{ V}) = 1.8 \text{ V}