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T4: Funciones
Asíntotas y monotonía
Problema
2021 · Extraordinaria · Reserva
2
Examen

Considera la función ff definida por f(x)=x2−10x2+2x−3f(x) = \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3} (para x≠−3,x≠1x \neq -3, x \neq 1).

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
Funciones racionalesAsíntotasCrecimiento+1
a) Estudio y cálculo de las asíntotas de la gráfica de ff.
Asíntotas verticales (AV)

Las asíntotas verticales se encuentran en los valores de xx donde el denominador se anula y el numerador no. El denominador de f(x)f(x) es x2+2x−3x^2 + 2x - 3. Igualamos a cero para encontrar las posibles asíntotas:

x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0

Las raíces de esta ecuación se calculan usando la fórmula cuadrática:

x=−2±22−4(1)(−3)2(1)=−2±4+122=−2±162=−2±42x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}

Obtenemos dos raíces:

x1=−2+42=1x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1
x2=−2−42=−3x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3

Ahora verificamos el numerador x2−10x^2 - 10 en estos puntos:

Para x=1:12−10=−9≠0\text{Para } x=1: 1^2 - 10 = -9 \neq 0
Para x=−3:(−3)2−10=9−10=−1≠0\text{Para } x=-3: (-3)^2 - 10 = 9 - 10 = -1 \neq 0

Dado que el numerador no es cero en ninguno de estos puntos, existen asíntotas verticales en x=1x=1 y x=−3x=-3. Calculamos los límites para estudiar el comportamiento de la función alrededor de estas asíntotas:

lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+x2−10(x−1)(x+3)=−90+(4)=−∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 10}{(x-1)(x+3)} = \frac{-9}{0^+(4)} = -\infty
lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−x2−10(x−1)(x+3)=−90−(4)=+∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 10}{(x-1)(x+3)} = \frac{-9}{0^-(4)} = +\infty
lim⁡x→−3+f(x)=lim⁡x→−3+x2−10(x−1)(x+3)=−1(−4)(0−)=+∞\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} \frac{x^2 - 10}{(x-1)(x+3)} = \frac{-1}{(-4)(0^-)} = +\infty
lim⁡x→−3−f(x)=lim⁡x→−3−x2−10(x−1)(x+3)=−1(−4)(0+)=−∞\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} \frac{x^2 - 10}{(x-1)(x+3)} = \frac{-1}{(-4)(0^+)} = -\infty

Las asíntotas verticales son x=1x=1 y x=−3x=-3.

Asíntotas horizontales (AH)

Calculamos el límite de f(x)f(x) cuando x→±∞x \to \pm \infty:

lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞x2−10x2+2x−3\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3}

Al ser un cociente de polinomios con el mismo grado en el numerador y el denominador, el límite es el cociente de los coeficientes principales:

lim⁡x→±∞x2−10x2+2x−3=11=1\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1}{1} = 1

Existe una asíntota horizontal en y=1y=1.

Asíntotas oblicuas (AO)

Dado que existe una asíntota horizontal, no hay asíntotas oblicuas.

b) Determinación de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, necesitamos calcular la primera derivada de f(x)f(x).

f(x)=x2−10x2+2x−3f(x) = \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3}

Usamos la regla del cociente (u/v)′=(u′v−uv′)/v2(u/v)' = (u'v - uv')/v^2:

u=x2−10  ⟹  u′=2xu = x^2 - 10 \implies u' = 2x
v=x2+2x−3  ⟹  v′=2x+2v = x^2 + 2x - 3 \implies v' = 2x + 2
f′(x)=2x(x2+2x−3)−(x2−10)(2x+2)(x2+2x−3)2f'(x) = \frac{2x(x^2 + 2x - 3) - (x^2 - 10)(2x + 2)}{(x^2 + 2x - 3)^2}

Simplificamos el numerador:

N(x)=2x3+4x2−6x−(2x3+2x2−20x−20)N(x) = 2x^3 + 4x^2 - 6x - (2x^3 + 2x^2 - 20x - 20)
N(x)=2x3+4x2−6x−2x3−2x2+20x+20N(x) = 2x^3 + 4x^2 - 6x - 2x^3 - 2x^2 + 20x + 20
N(x)=2x2+14x+20N(x) = 2x^2 + 14x + 20

Por lo tanto, la derivada es:

f′(x)=2x2+14x+20(x2+2x−3)2f'(x) = \frac{2x^2 + 14x + 20}{(x^2 + 2x - 3)^2}

Para encontrar los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero. El denominador es siempre positivo para x≠1,x≠−3x \neq 1, x \neq -3, por lo que solo necesitamos igualar el numerador a cero:

2x2+14x+20=02x^2 + 14x + 20 = 0
x2+7x+10=0x^2 + 7x + 10 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

x=−7±72−4(1)(10)2(1)=−7±49−402=−7±92=−7±32x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(10)}}{2(1)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}

Obtenemos dos puntos críticos:

x1=−7+32=−2x_1 = \frac{-7 + 3}{2} = -2
x2=−7−32=−5x_2 = \frac{-7 - 3}{2} = -5

Los puntos a considerar para el estudio del signo de f′(x)f'(x) son los puntos críticos x=−5x=-5 y x=−2x=-2, y los puntos de discontinuidad (asíntotas verticales) x=−3x=-3 y x=1x=1. Esto divide la recta real en los siguientes intervalos:

(−∞,−5),(−5,−3),(−3,−2),(−2,1),(1,∞)(-\infty, -5), (-5, -3), (-3, -2), (-2, 1), (1, \infty)

El signo de f′(x)f'(x) viene dado por el signo del numerador 2x2+14x+20=2(x+5)(x+2)2x^2 + 14x + 20 = 2(x+5)(x+2), ya que el denominador (x2+2x−3)2(x^2 + 2x - 3)^2 es siempre positivo en el dominio de la función.Evaluamos un punto de prueba en cada intervalo:1. Intervalo (−∞,−5)(-\infty, -5): Tomamos x=−6x=-6. f′(−6)=2(−6+5)(−6+2)=2(−1)(−4)=8>0f'(-6) = 2(-6+5)(-6+2) = 2(-1)(-4) = 8 > 0. La función es creciente.2. Intervalo (−5,−3)(-5, -3): Tomamos x=−4x=-4. f′(−4)=2(−4+5)(−4+2)=2(1)(−2)=−4<0f'(-4) = 2(-4+5)(-4+2) = 2(1)(-2) = -4 < 0. La función es decreciente.3. Intervalo (−3,−2)(-3, -2): Tomamos x=−2.5x=-2.5. f′(−2.5)=2(−2.5+5)(−2.5+2)=2(2.5)(−0.5)=−2.5<0f'(-2.5) = 2(-2.5+5)(-2.5+2) = 2(2.5)(-0.5) = -2.5 < 0. La función es decreciente.4. Intervalo (−2,1)(-2, 1): Tomamos x=0x=0. f′(0)=2(0+5)(0+2)=2(5)(2)=20>0f'(0) = 2(0+5)(0+2) = 2(5)(2) = 20 > 0. La función es creciente.5. Intervalo (1,∞)(1, \infty): Tomamos x=2x=2. f′(2)=2(2+5)(2+2)=2(7)(4)=56>0f'(2) = 2(2+5)(2+2) = 2(7)(4) = 56 > 0. La función es creciente.

Conclusión

La función f(x)f(x) es creciente en los intervalos (−∞,−5)∪(−2,1)∪(1,∞)(-\infty, -5) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty).La función f(x)f(x) es decreciente en los intervalos (−5,−3)∪(−3,−2)(-5, -3) \cup (-3, -2).