Para que la función sea continua en su dominio, debe serlo en el punto de unión $x = -2$. En el resto de los puntos, las funciones que definen cada rama son continuas en sus respectivos intervalos (la función racional $\frac{2}{x + 1}$ solo presenta una discontinuidad en $x = -1$, pero este punto no pertenece al intervalo $(-\infty, -2)$). Estudiamos los límites laterales en $x = -2$:

Para que $f(x)$ sea continua, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función: $4 + a = -2 \implies a = -6$.Para analizar la derivabilidad en $x = -2$ con $a = -6$, calculamos las derivadas laterales utilizando la función derivada en los entornos del punto:

Calculamos los límites de la derivada por la izquierda y por la derecha:

Como las derivadas laterales no coinciden ($f'(-2^-) \neq f'(-2^+)$), la función no es derivable en $x = -2$.

En $x = 3$, la función se rige por la rama $f(x) = x^2 - 6$. Calculamos la ordenada del punto y la pendiente de la tangente (la derivada):

Aplicamos la ecuación punto-pendiente $y - f(3) = f'(3)(x - 3)$:

Esbozo de la gráfica: para $x < -2$ tenemos una hipérbola que decrece desde la asíntota $y = 0$ hasta el punto $(-2, -2)$. Para $x \ge -2$, es una parábola con vértice en $(0, -6)$ que pasa por $(-2, -2)$, corta al eje $x$ en $\sqrt{6} \approx 2,45$ y pasa por $(3, 3)$.En el intervalo $[3, 5]$, la función es $f(x) = x^2 - 6$, que es siempre positiva. El área se calcula mediante la integral definida: