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T6: Física nuclear
Radiactividad
Problema
2020 · Ordinaria · Suplente
4-b
Examen
4. b) El 1124Na^{24}_{11}\ce{Na} tiene un periodo de semidesintegración de 14,959 horas. Calcule: i) La actividad inicial de una muestra de 5⋅10−3 kg5 \cdot 10^{-3} \text{ kg}. ii) El tiempo que transcurre hasta que su actividad se reduce a la décima parte de la inicial.

Datos: 1 u=1,66⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; m(1124Na)=23,990963 um(^{24}_{11}\ce{Na}) = 23,990963 \text{ u}

Actividad radiactivaVida media
i) La actividad inicial de una muestra de 5⋅10−3 kg5 \cdot 10^{-3} \text{ kg}.

Primero, convertimos el periodo de semidesintegración a segundos y la masa atómica a kilogramos.

T1/2=14,959 h⋅3600 s1 h=53852,4 sT_{1/2} = 14,959 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 53852,4 \text{ s}
matom=23,990963 u⋅1,66⋅10−27 kg/u=3,9825⋅10−26 kgm_{atom} = 23,990963 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 3,9825 \cdot 10^{-26} \text{ kg}

Calculamos la constante de desintegración λ\lambda:

λ=ln⁡(2)T1/2\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}
λ=0,693153852,4 s=1,287⋅10−5 s−1\lambda = \frac{0,6931}{53852,4 \text{ s}} = 1,287 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}

A continuación, calculamos el número inicial de núcleos (N0N_0) en la muestra:

N0=m0matomN_0 = \frac{m_0}{m_{atom}}
N0=5⋅10−3 kg3,9825⋅10−26 kg/nuˊcleo=1,2555⋅1023 nuˊcleosN_0 = \frac{5 \cdot 10^{-3} \text{ kg}}{3,9825 \cdot 10^{-26} \text{ kg/núcleo}} = 1,2555 \cdot 10^{23} \text{ núcleos}

Finalmente, calculamos la actividad inicial (A0A_0) de la muestra:

A0=λN0A_0 = \lambda N_0
A0=(1,287⋅10−5 s−1)⋅(1,2555⋅1023 nuˊcleos)=1,616⋅1018 BqA_0 = (1,287 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) \cdot (1,2555 \cdot 10^{23} \text{ núcleos}) = 1,616 \cdot 10^{18} \text{ Bq}
ii) El tiempo que transcurre hasta que su actividad se reduce a la décima parte de la inicial.

La ley de desintegración radiactiva para la actividad es:

A=A0e−λtA = A_0 e^{-\lambda t}

Queremos encontrar el tiempo tt cuando A=A0/10A = A_0 / 10. Sustituimos en la ecuación:

A010=A0e−λt\frac{A_0}{10} = A_0 e^{-\lambda t}
110=e−λt\frac{1}{10} = e^{-\lambda t}

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados:

ln⁡(110)=−λt\ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\lambda t
−ln⁡(10)=−λt-\ln(10) = -\lambda t
t=ln⁡(10)λt = \frac{\ln(10)}{\lambda}
t=2,30261,287⋅10−5 s−1=1,789⋅105 st = \frac{2,3026}{1,287 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} = 1,789 \cdot 10^{5} \text{ s}

Convertimos el tiempo a horas para mayor claridad:

t=1,789⋅105 s⋅1 h3600 s=49,7 ht = 1,789 \cdot 10^{5} \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 49,7 \text{ h}