T4: Funciones · Derivadas y Rectas Tangentes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Derivadas y Rectas Tangentes

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

a) Calcule la función derivada de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = \ln(3x^2 - 3) + \frac{1 - 2x}{x + 2} \quad \quad g(x) = 2e^{x^3} + x^2(3x + 4)^3

b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones

h(x) = x^2 + 1

p(x) = \frac{x - 1}{x + 1}

, en el punto de abscisa

x = 1

. ¿En qué punto se cortan ambas rectas?

DerivaciónRecta TangenteContinuidad

a) Calcule la función derivada de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = \ln(3x^2 - 3) + \frac{1 - 2x}{x + 2} \quad \quad g(x) = 2e^{x^3} + x^2(3x + 4)^3

Para la función $f(x)$ , derivamos el término logarítmico mediante la regla de la cadena y la fracción mediante la regla del cociente:

f'(x) = \frac{6x}{3x^2 - 3} + \frac{-2(x + 2) - (1 - 2x)(1)}{(x + 2)^2}

Simplificamos el primer término dividiendo numerador y denominador entre $3$ , y el segundo término operando en el numerador:

f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{-2x - 4 - 1 + 2x}{(x + 2)^2}

f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{5}{(x + 2)^2}

Para la función $g(x)$ , aplicamos la regla de la cadena en el primer sumando y la regla del producto en el segundo:

g'(x) = 2e^{x^3} \cdot 3x^2 + \left[ 2x(3x + 4)^3 + x^2 \cdot 3(3x + 4)^2 \cdot 3 \right]

Simplificamos y extraemos factor común para obtener la expresión final:

g'(x) = 6x^2 e^{x^3} + 2x(3x + 4)^3 + 9x^2(3x + 4)^2

g'(x) = 6x^2 e^{x^3} + x(3x + 4)^2 \left[ 2(3x + 4) + 9x \right]

g'(x) = 6x^2 e^{x^3} + x(3x + 4)^2 (15x + 8)

b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a las gráficas de las funciones

h(x) = x^2 + 1

p(x) = \frac{x - 1}{x + 1}

, en el punto de abscisa

x = 1

. ¿En qué punto se cortan ambas rectas?

Para la función $h(x) = x^2 + 1$ en $x = 1$ , calculamos el punto de tangencia y la pendiente:El punto es $(1, h(1))$ , donde $h(1) = 1^2 + 1 = 2$ . La pendiente es $m_1 = h'(1)$ . Como $h'(x) = 2x$ , entonces $m_1 = 2$ . La ecuación de la recta tangente es:

y - 2 = 2(x - 1) \implies y = 2x

Para la función $p(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ en $x = 1$ :El punto es $(1, p(1))$ , donde $p(1) = \frac{1-1}{1+1} = 0$ . La pendiente es $m_2 = p'(1)$ . Derivamos la función:

p'(x) = \frac{1(x + 1) - (x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}

La pendiente es $m_2 = p'(1) = \frac{2}{2^2} = \frac{1}{2}$ . La ecuación de la recta tangente es:

y - 0 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}

Para encontrar el punto de corte, igualamos las ecuaciones de ambas rectas:

2x = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \implies 4x = x - 1 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}

Sustituyendo el valor de $x$ en la primera recta para obtener $y$ :

y = 2\left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{2}{3}

Por lo tanto, el punto de corte es:

\left( -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right)