AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T4: Óptica
Óptica geométrica
Problema
2022 · Extraordinaria · Reserva
C1-b
Examen
b) Un rayo compuesto por luz roja y azul incide desde el aire sobre una lámina plana de vidrio con un ángulo de incidencia de 37∘37^{\circ}. i) Realice un esquema indicando las trayectorias de ambos rayos. ii) Determine el ángulo que forman entre sí los rayos rojo y azul en el interior del vidrio. iii) Calcule la frecuencia y la longitud de onda de cada componente del rayo dentro del vidrio.

Datos: naire=1;nvidrio,rojo=1,612;nvidrio,azul=1,671;λaire,rojo=6,563⋅10−7 m;λaire,azul=4,861⋅10−7 m;c=3⋅108 m s−1n_{aire} = 1; n_{vidrio,rojo} = 1,612; n_{vidrio,azul} = 1,671; \lambda_{aire,rojo} = 6,563 \cdot 10^{-7} \text{ m}; \lambda_{aire,azul} = 4,861 \cdot 10^{-7} \text{ m}; c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}

DispersiónLámina de caras paralelasFrecuencia
b) i) Para realizar un esquema de las trayectorias de ambos rayos, se debe considerar que el rayo incide desde el aire (naire=1n_{aire}=1) sobre una lámina de vidrio. El rayo incidente forma un ángulo de 37∘37^\circ con la normal a la superficie. Al pasar al vidrio, ambos componentes (rojo y azul) se refractan, es decir, cambian su dirección. Debido a la dispersión, el índice de refracción del vidrio es diferente para cada color (nvidrio,rojo=1,612n_{vidrio,rojo} = 1,612 y nvidrio,azul=1,671n_{vidrio,azul} = 1,671). Como nvidrio,azul>nvidrio,rojon_{vidrio,azul} > n_{vidrio,rojo}, el rayo azul se desviará más hacia la normal que el rayo rojo. Así, en el interior del vidrio, el rayo azul formará un ángulo menor con la normal que el rayo rojo.ii) Para determinar el ángulo que forman entre sí los rayos rojo y azul en el interior del vidrio, aplicamos la Ley de Snell para cada componente de la luz.
nairesin⁡θi=nvidriosin⁡θrn_{aire} \sin \theta_i = n_{vidrio} \sin \theta_r

Para el rayo rojo:

1 \cdot \sin(37^\circ) = 1,612 \cdot \sin \theta_{r,rojo}
\sin \theta_{r,rojo} = \frac{\sin(37^\circ)}{1,612} = \frac{0,6018}{1,612} \approx 0,3733
θr,rojo=arcsin⁡(0,3733)≈21,92∘\theta_{r,rojo} = \arcsin(0,3733) \approx 21,92^\circ

Para el rayo azul:

1 \cdot \sin(37^\circ) = 1,671 \cdot \sin \theta_{r,azul}
\sin \theta_{r,azul} = \frac{\sin(37^\circ)}{1,671} = \frac{0,6018}{1,671} \approx 0,3602
θr,azul=arcsin⁡(0,3602)≈21,12∘\theta_{r,azul} = \arcsin(0,3602) \approx 21,12^\circ

El ángulo que forman entre sí los rayos rojo y azul en el interior del vidrio es la diferencia entre los ángulos de refracción:

Δθ=θr,rojo−θr,azul=21,92∘−21,12∘=0,80∘\Delta \theta = \theta_{r,rojo} - \theta_{r,azul} = 21,92^\circ - 21,12^\circ = 0,80^\circ
iii) Para calcular la frecuencia y la longitud de onda de cada componente del rayo dentro del vidrio, utilizamos las propiedades de la luz.

La frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro. Se calcula a partir de la velocidad de la luz y la longitud de onda en el aire.

f=cλairef = \frac{c}{\lambda_{aire}}

La longitud de onda en el vidrio se calcula usando la relación entre la longitud de onda en el aire y el índice de refracción del vidrio para cada color.

λvidrio=λairenvidrio\lambda_{vidrio} = \frac{\lambda_{aire}}{n_{vidrio}}

Para el rayo rojo:

frojo=3⋅108 m/s6,563⋅10−7 m≈4,571⋅1014 Hzf_{rojo} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{6,563 \cdot 10^{-7} \text{ m}} \approx 4,571 \cdot 10^{14} \text{ Hz}
λvidrio,rojo=6,563⋅10−7 m1,612≈4,071⋅10−7 m\lambda_{vidrio,rojo} = \frac{6,563 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{1,612} \approx 4,071 \cdot 10^{-7} \text{ m}

Para el rayo azul:

fazul=3⋅108 m/s4,861⋅10−7 m≈6,171⋅1014 Hzf_{azul} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{4,861 \cdot 10^{-7} \text{ m}} \approx 6,171 \cdot 10^{14} \text{ Hz}
λvidrio,azul=4,861⋅10−7 m1,671≈2,909⋅10−7 m\lambda_{vidrio,azul} = \frac{4,861 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{1,671} \approx 2,909 \cdot 10^{-7} \text{ m}