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T3: Geometría
Planos y simetría
Problema
2021 · Extraordinaria · Reserva
7
Examen

Considera el punto P(1,2,6)P(1, 2, 6) y el plano π≡2x−y+z=0\pi \equiv 2x - y + z = 0.

a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a π\pi cuya distancia a éste sea 6\sqrt{6} unidades.b) Halla el simétrico del punto PP respecto al plano π\pi.
Planos paralelosDistancia punto-planoPunto simétrico
a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a π\pi cuya distancia a éste sea 6\sqrt{6} unidades.

La ecuación de un plano paralelo a π≡2x−y+z=0\pi \equiv 2x - y + z = 0 tiene la forma 2x−y+z+D=02x - y + z + D = 0. El vector normal del plano es n⃗=(2,−1,1)\vec{n} = (2, -1, 1), por lo que su módulo es ∥n⃗∥=22+(−1)2+12=4+1+1=6\|\vec{n}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}.La distancia entre dos planos paralelos Ax+By+Cz+D1=0Ax + By + Cz + D_1 = 0 y Ax+By+Cz+D2=0Ax + By + Cz + D_2 = 0 viene dada por la fórmula:

d=∣D1−D2∣A2+B2+C2d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

En nuestro caso, el plano dado es 2x−y+z+0=02x - y + z + 0 = 0 (con D1=0D_1 = 0) y los planos buscados son 2x−y+z+D=02x - y + z + D = 0 (con D2=DD_2 = D). La distancia requerida es 6\sqrt{6}. Sustituyendo en la fórmula:

6=∣D−0∣6\sqrt{6} = \frac{|D - 0|}{\sqrt{6}}

De donde obtenemos:

∣D∣=6⋅6=6|D| = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6

Esto implica que D=6D = 6 o D=−6D = -6. Por lo tanto, las ecuaciones de los planos paralelos son:

2x−y+z+6=0y2x−y+z−6=02x - y + z + 6 = 0 \quad \text{y} \quad 2x - y + z - 6 = 0
b) Halla el simétrico del punto P(1,2,6)P(1, 2, 6) respecto al plano π≡2x−y+z=0\pi \equiv 2x - y + z = 0.

Para hallar el punto simétrico P′(x′,y′,z′)P'(x', y', z') de P(1,2,6)P(1, 2, 6) respecto al plano π\pi, seguimos estos pasos:1. Hallar la recta rr que pasa por PP y es perpendicular a π\pi. El vector normal del plano π\pi es n⃗=(2,−1,1)\vec{n} = (2, -1, 1), que será el vector director de la recta rr. La ecuación paramétrica de la recta rr es:

{x=1+2λy=2−λz=6+λ\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 6 + \lambda \end{cases}

2. Hallar el punto de intersección MM de la recta rr y el plano π\pi. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta rr en la ecuación del plano π\pi: 2x−y+z=02x - y + z = 0.

2(1 + 2\lambda) - (2 - \lambda) + (6 + \lambda) = 0

Desarrollando la ecuación:

2+4λ−2+λ+6+λ=06+6λ=06λ=−6λ=−12 + 4\lambda - 2 + \lambda + 6 + \lambda = 0 \\ 6 + 6\lambda = 0 \\ 6\lambda = -6 \\ \lambda = -1

Ahora sustituimos el valor de λ=−1\lambda = -1 en las ecuaciones paramétricas de rr para encontrar las coordenadas del punto MM:

{xM=1+2(−1)=1−2=−1yM=2−(−1)=2+1=3zM=6+(−1)=6−1=5\begin{cases} x_M = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \\ y_M = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \\ z_M = 6 + (-1) = 6 - 1 = 5 \end{cases}

Así, el punto MM es (−1,3,5)(-1, 3, 5).3. Calcular las coordenadas del punto simétrico P′P'. El punto MM es el punto medio del segmento PP′PP'. Si P′(x′,y′,z′)P'(x', y', z'), entonces:

{1+x′2=−1⇒1+x′=−2⇒x′=−32+y′2=3⇒2+y′=6⇒y′=46+z′2=5⇒6+z′=10⇒z′=4\begin{cases} \frac{1 + x'}{2} = -1 \Rightarrow 1 + x' = -2 \Rightarrow x' = -3 \\ \frac{2 + y'}{2} = 3 \Rightarrow 2 + y' = 6 \Rightarrow y' = 4 \\ \frac{6 + z'}{2} = 5 \Rightarrow 6 + z' = 10 \Rightarrow z' = 4 \end{cases}

Por lo tanto, el punto simétrico de PP respecto al plano π\pi es P′(−3,4,4)P'(-3, 4, 4).