T1: Interacción gravitatoria

Satélites

Problema

2019 · Ordinaria · Reserva

1B-a

a) Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape desde esa órbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre. ¿A qué altura se encuentra el satélite?

velocidad de escapeórbita circularsatélite

a) Para resolver este problema, primero definimos la velocidad de escape desde la superficie terrestre y desde una órbita a una cierta altura. La velocidad de escape

v_{esc}

desde una distancia

r

al centro de un cuerpo de masa

M

viene dada por la expresión:

v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

donde $G$ es la constante de gravitación universal y $M$ es la masa de la Tierra ( $M_T$ ). El radio de la Tierra es $R_T$ .La velocidad de escape desde la superficie terrestre ( $r = R_T$ ) es:

v_{esc,T} = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}

Si el satélite se encuentra a una altura $h$ sobre la superficie terrestre, su distancia al centro de la Tierra es $r = R_T + h$ . La velocidad de escape desde esa órbita es:

v_{esc,h} = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T + h}}

Según el enunciado del problema, la velocidad de escape desde la órbita del satélite es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre:

v_{esc,h} = \frac{1}{2} v_{esc,T}

Sustituyendo las expresiones para las velocidades de escape:

\sqrt{\frac{2GM_T}{R_T + h}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}

Elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar las raíces cuadradas:

\frac{2GM_T}{R_T + h} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \frac{2GM_T}{R_T}

\frac{2GM_T}{R_T + h} = \frac{1}{4} \frac{2GM_T}{R_T}

Podemos cancelar el término $2GM_T$ de ambos lados de la ecuación:

\frac{1}{R_T + h} = \frac{1}{4R_T}

Ahora, despejamos $R_T + h$ :

R_T + h = 4R_T

Finalmente, despejamos la altura $h$ :

h = 4R_T - R_T

h = 3R_T

La altura a la que se encuentra el satélite es tres veces el radio de la Tierra.