Para que la función sea continua, debe serlo en el punto $x=1$. Esto implica que el límite de la función por la izquierda debe ser igual al límite por la derecha y al valor de la función en $x=1$.

Igualando ambos límites obtenemos la primera ecuación:

Para que la función sea derivable, debe serlo en $x=1$. Primero, calculamos las derivadas de cada rama:

Para que sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales deben ser iguales:

Igualando las derivadas laterales obtenemos la segunda ecuación:

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones:

De la ecuación (1), despejamos $b$: $b = -a$. Sustituimos en la ecuación (2):

Sustituyendo $a = -1$ en $b = -a$: $b = -(-1) = 1$.Los valores son $a = -1$ y $b = 1$.

Con $a = -1$ y $b = 1$, la función es:

Para $x \leq 1$, la función es una parábola $y = -x^2 + x + 2$. Es una parábola que abre hacia abajo. * Vértice: $x_v = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$. $f(\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{-1+2+8}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$. El vértice es $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$. * Puntos de corte con el eje OX ($y=0$): $-x^2 + x + 2 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$. Las raíces son $x=2$ y $x=-1$. Para $x \leq 1$, el punto de corte es $(-1, 0)$. * Punto en $x=1$: $f(1) = -(1)^2 + 1 + 2 = 2$. El punto es $(1, 2)$.Para $x > 1$, la función es $y = \frac{4}{x+1}$. Es una hipérbola. * Asíntota horizontal: $y=0$ (eje OX) cuando $x \to \infty$. * Punto en $x=1$ (límite por la derecha): $\lim_{x \to 1^+} \frac{4}{x+1} = \frac{4}{2} = 2$. El punto es $(1, 2)$. * Algunos puntos adicionales: $f(3) = \frac{4}{3+1} = 1 \implies (3, 1)$; $f(7) = \frac{4}{7+1} = 0.5 \implies (7, 0.5)$.El esbozo de la gráfica comenzaría en $x=-1$ en el eje X, subiendo hasta el vértice $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$, y luego bajando suavemente hasta el punto $(1,2)$. A partir de este punto, la gráfica de la hipérbola continuaría decreciendo suavemente hacia el eje X sin tocarlo.

El recinto acotado está limitado por la función $f(x) = -x^2 + x + 2$ (ya que la recta $x=1$ y el eje OX limitan la región para $x \leq 1$), la recta $x=1$ y el eje OX ($y=0$).Necesitamos encontrar los puntos de corte de $f(x)$ con el eje OX. Ya los calculamos en el apartado anterior: $x=-1$ y $x=2$. Dado que la región está limitada por $x=1$, el intervalo de integración para la parábola será desde $x=-1$ hasta $x=1$.En el intervalo $[-1, 1]$, la función $f(x) = -x^2 + x + 2$ es positiva, por lo que el área se calcula mediante la integral definida:

Resolvemos la integral:

El área del recinto acotado es $\frac{10}{3}$ unidades cuadradas.