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T4: Funciones
Continuidad, derivabilidad e integración
Problema
2021 · Extraordinaria · Reserva
3
Examen
EJERCICIO 3

Se considera la función:

f(x)={ax+bsi x<1x2−bx+asi x≥1f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < 1 \\ x^2 - bx + a & \text{si } x \ge 1 \end{cases}
a) Halle el valor de bb para que ff sea continua en R\mathbb{R}.b) Para b=1/2b = 1/2, halle el valor de aa para que ff sea derivable en R\mathbb{R}.c) Para a<0a < 0 y b=1/2b = 1/2, estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función ff.d) Para a=0a = 0 y b=1/2b = 1/2, represente la región del plano delimitada por la gráfica de ff, el eje de abscisas y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2. Calcule el área de dicha región.
Funciones a trozosDerivabilidadCálculo integral
a) Halle el valor de bb para que ff sea continua en R\mathbb{R}.

La función f(x)f(x) es continua en R\mathbb{R} si es continua en los intervalos (−∞,1)(-\infty, 1) y [1,∞)[1, \infty), donde es polinómica, y si es continua en el punto x=1x = 1. Para que sea continua en x=1x = 1, los límites laterales y el valor de la función deben coincidir:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax + b) = a + b
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 - bx + a) = 1^2 - b(1) + a = 1 - b + a
f(1)=12−b(1)+a=1−b+af(1) = 1^2 - b(1) + a = 1 - b + a

Igualando los límites:

a+b=1−b+aa + b = 1 - b + a

Simplificando la ecuación:

b=1−bb = 1 - b
2b=12b = 1
b=12b = \frac{1}{2}
b) Para b=1/2b = 1/2, halle el valor de aa para que ff sea derivable en R\mathbb{R}.

Para que ff sea derivable en R\mathbb{R}, debe ser continua (lo cual se cumple con b=1/2b = 1/2 según el apartado anterior) y las derivadas laterales deben coincidir en x=1x = 1.Calculamos la derivada de cada rama:

f′(x)={asi x<12x−bsi x>1f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x < 1 \\ 2x - b & \text{si } x > 1 \end{cases}

Sustituimos b=1/2b = 1/2:

f′(x)={asi x<12x−12si x>1f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x < 1 \\ 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x > 1 \end{cases}

Ahora, igualamos las derivadas laterales en x=1x = 1:

f′(1−)=af'(1^-) = a
f′(1+)=2(1)−12=2−12=32f'(1^+) = 2(1) - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Para que sea derivable, f′(1−)=f′(1+)f'(1^-) = f'(1^+):

a=32a = \frac{3}{2}
c) Para a<0a < 0 y b=1/2b = 1/2, estudie el crecimiento y halle las abscisas de los extremos de la función ff.

Sustituimos b=1/2b = 1/2 en la función original y en su derivada:

f(x)={ax+12si x<1x2−12x+asi x≥1f(x) = \begin{cases} ax + \frac{1}{2} & \text{si } x < 1 \\ x^2 - \frac{1}{2}x + a & \text{si } x \ge 1 \end{cases}
f′(x)={asi x<12x−12si x>1f'(x) = \begin{cases} a & \text{si } x < 1 \\ 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x > 1 \end{cases}

Análisis del signo de f′(x)f'(x):Para x<1x < 1: f′(x)=af'(x) = a. Dado que a<0a < 0, entonces f′(x)<0f'(x) < 0. Por lo tanto, f(x)f(x) es decreciente en (−∞,1)(-\infty, 1).Para x>1x > 1: f′(x)=2x−1/2f'(x) = 2x - 1/2. Igualamos a cero para encontrar posibles puntos críticos:

2x−12=0⇒2x=12⇒x=142x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}

Este punto x=1/4x = 1/4 no se encuentra en el dominio de esta rama (x>1x > 1). Por lo tanto, el signo de f′(x)f'(x) en (1,∞)(1, \infty) es constante. Tomamos un valor de prueba, por ejemplo x=2x = 2: f′(2)=2(2)−1/2=4−1/2=7/2>0f'(2) = 2(2) - 1/2 = 4 - 1/2 = 7/2 > 0. Por lo tanto, f(x)f(x) es creciente en (1,∞)(1, \infty).En resumen:La función es decreciente en (−∞,1)(-\infty, 1) y creciente en (1,∞)(1, \infty).En x=1x = 1, la función cambia de decreciente a creciente. Esto indica un mínimo relativo en x=1x = 1. La abscisa del extremo es x=1x = 1.

d) Para a=0a = 0 y b=1/2b = 1/2, represente la región del plano delimitada por la gráfica de ff, el eje de abscisas y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2. Calcule el área de dicha región.

Sustituimos a=0a = 0 y b=1/2b = 1/2 en la función f(x)f(x):

f(x)={(0)x+12si x<1x2−12x+0si x≥1f(x) = \begin{cases} (0)x + \frac{1}{2} & \text{si } x < 1 \\ x^2 - \frac{1}{2}x + 0 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}
f(x)={12si x<1x2−12xsi x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{si } x < 1 \\ x^2 - \frac{1}{2}x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

Para el intervalo [0,2][0, 2], la función se divide en dos partes: f(x)=1/2f(x) = 1/2 para x∈[0,1)x \in [0, 1) y f(x)=x2−1/2xf(x) = x^2 - 1/2x para x∈[1,2]x \in [1, 2].Verificamos que f(x)≥0f(x) \ge 0 en el intervalo [0,2][0, 2]:Para x∈[0,1)x \in [0, 1), f(x)=1/2>0f(x) = 1/2 > 0. Para x∈[1,2]x \in [1, 2], f(x)=x2−1/2x=x(x−1/2)f(x) = x^2 - 1/2x = x(x - 1/2). En este intervalo, x>0x > 0 y x−1/2>0x - 1/2 > 0, por lo que f(x)>0f(x) > 0. La función está siempre por encima del eje de abscisas.El área se calcula mediante la integral definida desde x=0x = 0 hasta x=2x = 2, dividida en dos partes debido a la definición de la función:

Aˊrea=∫02f(x) dx=∫0112 dx+∫12(x2−12x) dx\text{Área} = \int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \, dx + \int_1^2 \left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) \, dx

Calculamos la primera integral:

∫0112 dx=[12x]01=12(1)−12(0)=12\int_0^1 \frac{1}{2} \, dx = \left[\frac{1}{2}x\right]_0^1 = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(0) = \frac{1}{2}

Calculamos la segunda integral:

∫12(x2−12x) dx=[x33−12⋅x22]12=[x33−x24]12\int_1^2 \left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4}\right]_1^2
=(233−224)−(133−124)= \left(\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{4}\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{4}\right)
=(83−44)−(13−14)= \left(\frac{8}{3} - \frac{4}{4}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)
=(83−1)−(4−312)= \left(\frac{8}{3} - 1\right) - \left(\frac{4-3}{12}\right)
=53−112= \frac{5}{3} - \frac{1}{12}
=2012−112=1912= \frac{20}{12} - \frac{1}{12} = \frac{19}{12}

Sumamos ambas áreas para obtener el área total:

Aˊrea=12+1912=612+1912=2512\text{Área} = \frac{1}{2} + \frac{19}{12} = \frac{6}{12} + \frac{19}{12} = \frac{25}{12}