Sean $x$ e $y$ las dimensiones (base y altura) del rectángulo en centímetros. La diagonal del rectángulo viene dada por el teorema de Pitágoras, y según el enunciado, su valor es $10$ cm:

Despejamos una de las variables en función de la otra (considerando $y > 0$ por ser una longitud):

La función que deseamos maximizar es el área del rectángulo, $A = x \cdot y$. Sustituimos la expresión de $y$ para obtener la función área en términos de una sola variable $x$:

Para simplificar el cálculo del máximo, podemos maximizar el cuadrado de la función área, $f(x) = [A(x)]^2 = 100x^2 - x^4$, ya que el valor de $x$ que maximiza el cuadrado de una función positiva también maximiza la función original. Calculamos la derivada de $f(x)$:

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

Como $x$ debe ser mayor que cero por representar una longitud, la única solución válida es:

Comprobamos que se trata de un máximo utilizando la segunda derivada $f''(x)$:

Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que en $x = 5\sqrt{2}$ existe un máximo relativo. Calculamos ahora el valor de la otra dimensión $y$:

Por tanto, el rectángulo de diagonal $10$ cm que tiene el área máxima es un cuadrado de lado $5\sqrt{2}$ cm. Sus dimensiones son aproximadamente $x \approx 7,07$ cm e $y \approx 7,07$ cm.