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T5: Física moderna
Física cuántica
Teoría
2022 · Extraordinaria · Reserva
D1-a
Examen
a) Considere un electrón y un protón. Para los dos casos siguientes explique razonadamente qué partícula tiene mayor longitud de onda: i) las dos partículas tienen la misma velocidad; ii) las dos partículas tienen la misma cantidad de movimiento o momento lineal.
Dualidad onda-corpúsculoLongitud de onda de de BroglieMomento lineal
a) La longitud de onda de De Broglie, λ\lambda, de una partícula se relaciona con su cantidad de movimiento o momento lineal, pp, mediante la expresión:
λ=hp\lambda = \frac{h}{p}

donde hh es la constante de Planck. Sabemos que la cantidad de movimiento pp se define como el producto de la masa de la partícula, mm, por su velocidad, vv (p=mvp = mv). Por lo tanto, la expresión para la longitud de onda de De Broglie es:

λ=hmv\lambda = \frac{h}{mv}

También es importante recordar que la masa del protón (mp≈1.672×10−27 kgm_p \approx 1.672 \times 10^{-27} \text{ kg}) es significativamente mayor que la masa del electrón (me≈9.109×10−31 kgm_e \approx 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}). Es decir, mp>mem_p > m_e.

i) Las dos partículas tienen la misma velocidad (ve=vp=vv_e = v_p = v):

En este caso, las longitudes de onda para el electrón y el protón serán:

λe=hmev\lambda_e = \frac{h}{m_e v}
λp=hmpv\lambda_p = \frac{h}{m_p v}

Dado que hh y vv son constantes e iguales para ambas partículas, la longitud de onda es inversamente proporcional a la masa de la partícula (λ∝1/m\lambda \propto 1/m). Como la masa del electrón es mucho menor que la del protón (me<mpm_e < m_p), el electrón tendrá una mayor longitud de onda.

ii) Las dos partículas tienen la misma cantidad de movimiento o momento lineal (pe=pp=pp_e = p_p = p):

En este caso, las longitudes de onda para el electrón y el protón serán:

λe=hpe\lambda_e = \frac{h}{p_e}
λp=hpp\lambda_p = \frac{h}{p_p}

Como hh es la constante de Planck y la cantidad de movimiento pp es la misma para ambas partículas, sus longitudes de onda de De Broglie serán iguales. La masa de cada partícula no influye directamente en la longitud de onda cuando el momento lineal es el mismo.