AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T4: Funciones
Continuidad y derivabilidad
Problema
2020 · Ordinaria · Reserva
3
Examen
EJERCICIO 3

Se considera la función f(x)={x2+ax+2si x≤0x+bx−1si x>0f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{x + b}{x - 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}

a) Halle aa y bb para que ff sea continua y derivable en x=0x = 0.b) Para a=1a = 1 y b=−2b = -2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.c) Para a=1a = 1 y b=1b = 1, halle, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de ff.
Funciones a trozosContinuidadDerivabilidad+2
Resolución del Ejercicio de Funciones: Continuidad, Derivabilidad y Asíntotas
a) Halle aa y bb para que ff sea continua y derivable en x=0x = 0.

Para que la función sea continua en x=0x = 0, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función en dicho punto. Calculamos los límites:

lim⁡x→0−(x2+ax+2)=2\lim_{x \to 0^-} (x^2 + ax + 2) = 2
lim⁡x→0+x+bx−1=0+b0−1=−b\lim_{x \to 0^+} \frac{x + b}{x - 1} = \frac{0 + b}{0 - 1} = -b

Igualando ambos límites para garantizar la continuidad:

2=−b  ⟹  b=−22 = -b \implies b = -2

Para que la función sea derivable en x=0x = 0, deben existir las derivadas laterales y ser iguales. Primero hallamos la derivada de cada tramo:

f′(x)={2x+asi x<0−1−b(x−1)2si x>0f'(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 0 \\ \frac{-1 - b}{(x - 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}

Calculamos las derivadas laterales en x=0x = 0 (sustituyendo b=−2b = -2 en la segunda expresión):

f′(0−)=2(0)+a=af'(0^-) = 2(0) + a = a
f′(0+)=−1−(−2)(0−1)2=11=1f'(0^+) = \frac{-1 - (-2)}{(0 - 1)^2} = \frac{1}{1} = 1

Igualando las derivadas laterales obtenemos a=1a = 1. Por lo tanto, los valores buscados son:

a=1,b=−2a = 1, \quad b = -2
b) Para a=1a = 1 y b=−2b = -2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.

La ecuación de la recta tangente en x=x0x = x_0 viene dada por y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0). Con los valores a=1a = 1 y b=−2b = -2, ya sabemos por el apartado anterior que la función es continua y derivable en x=0x = 0. Calculamos el punto y la pendiente:

f(0)=02+(1)(0)+2=2f(0) = 0^2 + (1)(0) + 2 = 2
f′(0)=1f'(0) = 1

Sustituimos en la ecuación:

y−2=1(x−0)  ⟹  y=x+2y - 2 = 1(x - 0) \implies y = x + 2
c) Para a=1a = 1 y b=1b = 1, halle, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de ff.

Para a=1a = 1 y b=1b = 1, la función es:

f(x)={x2+x+2si x≤0x+1x−1si x>0f(x) = \begin{cases} x^2 + x + 2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{x + 1}{x - 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}

1. Asíntotas Verticales: El tramo parabólico no tiene asíntotas. Para el segundo tramo (x>0x > 0), el denominador se anula en x=1x = 1. Comprobamos el límite:

lim⁡x→1x+1x−1=20=±∞\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{2}{0} = \pm \infty

Existe una asíntota vertical en x=1x = 1.2. Asíntotas Horizontales: Analizamos los límites en el infinito.

lim⁡x→−∞(x2+x+2)=+∞(No hay asıˊntota horizontal en −∞)\lim_{x \to -\infty} (x^2 + x + 2) = +\infty \quad (\text{No hay asíntota horizontal en } -\infty)
lim⁡x→∞x+1x−1=1\lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1

Existe una asíntota horizontal en y=1y = 1 para x→∞x \to \infty.3. Asíntotas Oblicuas: En −∞-\infty no hay, ya que el grado del polinomio es 2 (crece como x2x^2). En +∞+\infty tampoco hay, dado que ya existe una asíntota horizontal.