T5: Probabilidad · Teorema de la probabilidad total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Teorema de la probabilidad total y Bayes

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 5

Una empresa dedicada a la fabricación de coches lanza al mercado un nuevo modelo que fabrica en tres plantas diferentes, $A, B$ y $C$ . La planta $A$ produce el 45% de los vehículos, la planta $B$ el 21% y el resto los produce la planta $C$ . Se ha detectado un defecto en la colocación del airbag, que afecta al 1% de los coches procedentes de la planta $A$ , al 3% de los procedentes de la planta $B$ y al 2% de los de la planta $C$ . Se selecciona un coche al azar de este nuevo modelo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y proceda de la planta

C

?b) Si el coche elegido no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta

A

Probabilidad condicionadaÁrbol de probabilidad

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : el coche procede de la planta A. $B$ : el coche procede de la planta B. $C$ : el coche procede de la planta C. $D$ : el coche es defectuoso. $D^c$ : el coche no es defectuoso.Las probabilidades dadas son:

P(A) = 0.45

P(B) = 0.21

P(D|A) = 0.01

P(D|B) = 0.03

P(D|C) = 0.02

Calculamos $P(C)$ y las probabilidades de que el coche no sea defectuoso condicionado a cada planta:

P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - 0.45 - 0.21 = 0.34

P(D^c|A) = 1 - P(D|A) = 1 - 0.01 = 0.99

P(D^c|B) = 1 - P(D|B) = 1 - 0.03 = 0.97

P(D^c|C) = 1 - P(D|C) = 1 - 0.02 = 0.98

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso y proceda de la planta

C

Nos piden calcular $P(D^c \cap C)$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(D^c \cap C) = P(D^c|C) \cdot P(C)

P(D^c \cap C) = 0.98 \cdot 0.34 = 0.3332

b) Si el coche elegido no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta

A

Nos piden calcular $P(A|D^c)$ . Para ello, necesitamos calcular primero la probabilidad total de que un coche no sea defectuoso, $P(D^c)$ , utilizando el teorema de la probabilidad total:

P(D^c) = P(D^c|A)P(A) + P(D^c|B)P(B) + P(D^c|C)P(C)

P(D^c) = (0.99 \cdot 0.45) + (0.97 \cdot 0.21) + (0.98 \cdot 0.34)

P(D^c) = 0.4455 + 0.2037 + 0.3332 = 0.9824

Ahora aplicamos el teorema de Bayes para calcular $P(A|D^c)$ :

P(A|D^c) = \frac{P(D^c|A) \cdot P(A)}{P(D^c)}

P(A|D^c) = \frac{0.99 \cdot 0.45}{0.9824} = \frac{0.4455}{0.9824} \approx 0.4535