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T1: Matrices y determinantes
Ecuaciones matriciales
Problema
2020 · Extraordinaria · Reserva
7
Examen

Considera

A=(1−1mm2−3m−104),B=(5−12)yC=(310)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m - 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} y C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
a) Determina los valores de mm para los que la ecuación AX+B=CAX + B = C tiene solución única.b) Para m=0m = 0, halla XX tal que AX+B=CAX + B = C.
MatricesEcuación matricialDeterminantes
a) Determina los valores de mm para los que la ecuación AX+B=CAX + B = C tiene solución única.

La ecuación matricial AX+B=CAX + B = C se puede reescribir como AX=C−BAX = C - B. Para que esta ecuación tenga una solución única para XX, la matriz AA debe ser invertible. Una matriz es invertible si y solo si su determinante es diferente de cero.Calculamos el determinante de AA:

det⁡(A)=∣1−1mm2−3m−104∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m - 1 & 0 & 4 \end{vmatrix}
det⁡(A)=1(2⋅4−(−3)⋅0)−(−1)(m⋅4−(−3)(m−1))+m(m⋅0−2(m−1))\det(A) = 1(2 \cdot 4 - (-3) \cdot 0) - (-1)(m \cdot 4 - (-3)(m - 1)) + m(m \cdot 0 - 2(m - 1))
det⁡(A)=1(8−0)+1(4m+3m−3)+m(0−2m+2)\det(A) = 1(8 - 0) + 1(4m + 3m - 3) + m(0 - 2m + 2)
det⁡(A)=8+7m−3−2m2+2m\det(A) = 8 + 7m - 3 - 2m^2 + 2m
det⁡(A)=−2m2+9m+5\det(A) = -2m^2 + 9m + 5

Ahora, igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de mm para los cuales la matriz AA no es invertible:

−2m2+9m+5=0-2m^2 + 9m + 5 = 0
2m2−9m−5=02m^2 - 9m - 5 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula general m=−b±b2−4ac2am = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}:

m=−(−9)±(−9)2−4(2)(−5)2(2)m = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}
m=9±81+404m = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4}
m=9±1214m = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4}
m=9±114m = \frac{9 \pm 11}{4}

Obtenemos dos valores para mm:

m1=9+114=204=5m_1 = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5
m2=9−114=−24=−12m_2 = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

Por lo tanto, la ecuación AX+B=CAX + B = C tendrá solución única cuando el determinante de AA sea diferente de cero, es decir, para m≠5m \neq 5 y m≠−12m \neq -\frac{1}{2}.

b) Para m=0m = 0, halla XX tal que AX+B=CAX + B = C.

Para m=0m = 0, la matriz AA es:

A=(1−1002−3−104)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}

El determinante de AA para m=0m = 0 es det⁡(A)=−2(0)2+9(0)+5=5≠0\det(A) = -2(0)^2 + 9(0) + 5 = 5 \neq 0, por lo que AA es invertible y existe una solución única.Primero, calculamos la matriz C−BC - B:

C−B=(310)−(5−12)=(3−51−(−1)0−2)=(−22−2)C - B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 5 \\ 1 - (-1) \\ 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}

La ecuación a resolver es AX=C−BAX = C - B, es decir:

(1−1002−3−104)(xyz)=(−22−2)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}

Podemos resolver este sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss:

(1−10−202−32−104−2)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 4 & -2 \end{array} \right)
F3←F3+F1:F_3 \leftarrow F_3 + F_1:
(1−10−202−320−14−4)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -3 & 2 \\ 0 & -1 & 4 & -4 \end{array} \right)
F2↔F3:F_2 \leftrightarrow F_3:
(1−10−20−14−402−32)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 4 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 2 \end{array} \right)
F2←−F2:F_2 \leftarrow -F_2:
(1−10−201−4402−32)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 2 & -3 & 2 \end{array} \right)
F3←F3−2F2:F_3 \leftarrow F_3 - 2F_2:
(1−10−201−44005−6)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & -6 \end{array} \right)

Ahora, resolvemos el sistema equivalente:

{x−y=−2y−4z=45z=−6\begin{cases} x - y = -2 \\ y - 4z = 4 \\ 5z = -6 \end{cases}

De la tercera ecuación:

5z=−6⇒z=−655z = -6 \Rightarrow z = -\frac{6}{5}

Sustituimos zz en la segunda ecuación:

y−4(−65)=4⇒y+245=4⇒y=4−245=20−245=−45y - 4\left(-\frac{6}{5}\right) = 4 \Rightarrow y + \frac{24}{5} = 4 \Rightarrow y = 4 - \frac{24}{5} = \frac{20 - 24}{5} = -\frac{4}{5}

Sustituimos yy en la primera ecuación:

x−(−45)=−2⇒x+45=−2⇒x=−2−45=−10−45=−145x - \left(-\frac{4}{5}\right) = -2 \Rightarrow x + \frac{4}{5} = -2 \Rightarrow x = -2 - \frac{4}{5} = \frac{-10 - 4}{5} = -\frac{14}{5}

Por lo tanto, la matriz XX es:

X=(−145−45−65)X = \begin{pmatrix} -\frac{14}{5} \\ -\frac{4}{5} \\ -\frac{6}{5} \end{pmatrix}