T5: Probabilidad · Probabilidad total y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Probabilidad total y Teorema de Bayes

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

En una localidad se han vendido 1335 boletos de lotería en tres establecimientos $A$ , $B$ y $C$ . En el establecimiento $A$ se han vendido 1054 boletos, 99 en $B$ y el resto en $C$ . De los boletos premiados, 5 han sido vendidos en $B$ y 13 en $C$ . Sabemos que 95 de cada 100 boletos vendidos no han obtenido premio. Elegido un boleto al azar, se pide:

a) ¿Cuál es el establecimiento que tiene una mayor probabilidad de haber vendido un boleto no premiado?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un boleto no premiado haya sido vendido en el establecimiento

A

Teorema de BayesProbabilidad total

Primero, vamos a organizar los datos proporcionados y calcular los valores necesarios para la resolución de los apartados.Datos iniciales:Número total de boletos vendidos ( $N = 1335$ )Boletos vendidos en el establecimiento A ( $N_A = 1054$ )Boletos vendidos en el establecimiento B ( $N_B = 99$ )Boletos vendidos en el establecimiento C ( $N_C$ ):

N_C = N - N_A - N_B = 1335 - 1054 - 99 = 182

Probabilidad de un boleto no premiado ( $P(NP) = 0.95$ ). Por lo tanto, la probabilidad de un boleto premiado es $P(P) = 1 - 0.95 = 0.05$ .Número total de boletos no premiados ( $N_{NP}$ ):

N_{NP} = N \times P(NP) = 1335 \times 0.95 = 1268.25

Número total de boletos premiados ( $N_P$ ):

N_P = N \times P(P) = 1335 \times 0.05 = 66.75

Boletos premiados en B ( $N_{P|B} = 5$ )Boletos premiados en C ( $N_{P|C} = 13$ )Boletos premiados en A ( $N_{P|A}$ ):

N_{P|A} = N_P - N_{P|B} - N_{P|C} = 66.75 - 5 - 13 = 48.75

Ahora, calculamos el número de boletos no premiados por establecimiento:Boletos no premiados en A ( $N_{NP|A}$ ):

N_{NP|A} = N_A - N_{P|A} = 1054 - 48.75 = 1005.25

Boletos no premiados en B ( $N_{NP|B}$ ):

N_{NP|B} = N_B - N_{P|B} = 99 - 5 = 94

Boletos no premiados en C ( $N_{NP|C}$ ):

N_{NP|C} = N_C - N_{P|C} = 182 - 13 = 169

a) ¿Cuál es el establecimiento que tiene una mayor probabilidad de haber vendido un boleto no premiado?

Calculamos la probabilidad de que un boleto vendido en cada establecimiento sea no premiado, es decir, $P(NP|E)$ donde $E$ es el establecimiento.

P(NP|A) = \frac{N_{NP|A}}{N_A} = \frac{1005.25}{1054} \approx 0.9537

P(NP|B) = \frac{N_{NP|B}}{N_B} = \frac{94}{99} \approx 0.9495

P(NP|C) = \frac{N_{NP|C}}{N_C} = \frac{169}{182} \approx 0.9286

Comparando estas probabilidades ( $0.9537$ para A, $0.9495$ para B y $0.9286$ para C), el establecimiento A tiene la mayor probabilidad de haber vendido un boleto no premiado.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un boleto no premiado haya sido vendido en el establecimiento A?

Esta pregunta nos pide calcular $P(A|NP)$ . Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(A|NP) = \frac{\text{Número de boletos no premiados en A}}{\text{Número total de boletos no premiados}}

P(A|NP) = \frac{N_{NP|A}}{N_{NP}} = \frac{1005.25}{1268.25} \approx 0.7926

La probabilidad de que un boleto no premiado haya sido vendido en el establecimiento A es aproximadamente $0.7926$ .