T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2020 · Extraordinaria · Suplente

5-a

Un planeta A tiene el triple de masa y doble de radio que otro planeta B.

a) Determine la relación entre: i) Los campos gravitatorios en la superficie de ambos planetas. ii) Las velocidades orbitales de dos satélites que se encuentran orbitando, respectivamente, alrededor de cada uno de los planetas a una altura sobre la superficie igual al radio de cada uno.

Intensidad de campoVelocidad orbital

Datos conocidos:

M_A = 3M_B

R_A = 2R_B

a) i) Relación entre los campos gravitatorios en la superficie de ambos planetas.

El campo gravitatorio en la superficie de un planeta viene dado por la expresión:

g = \frac{GM}{R^2}

Aplicando esta fórmula para el planeta A:

g_A = \frac{GM_A}{R_A^2}

Sustituyendo $M_A = 3M_B$ y $R_A = 2R_B$ :

g_A = \frac{G(3M_B)}{(2R_B)^2} = \frac{3GM_B}{4R_B^2}

Para el planeta B, el campo gravitatorio en su superficie es:

g_B = \frac{GM_B}{R_B^2}

La relación entre los campos gravitatorios es:

\frac{g_A}{g_B} = \frac{\frac{3GM_B}{4R_B^2}}{\frac{GM_B}{R_B^2}} = \frac{3}{4}

Por lo tanto, la relación es $g_A = \frac{3}{4}g_B$ .

a) ii) Relación entre las velocidades orbitales de dos satélites que se encuentran orbitando, respectivamente, alrededor de cada uno de los planetas a una altura sobre la superficie igual al radio de cada uno.

La altura sobre la superficie es igual al radio del planeta. Por lo tanto, el radio de la órbita ( $r$ ) para cada satélite será:

r_A = R_A + h_A = R_A + R_A = 2R_A

r_B = R_B + h_B = R_B + R_B = 2R_B

Sustituyendo la relación $R_A = 2R_B$ en la expresión de $r_A$ :

r_A = 2(2R_B) = 4R_B

La velocidad orbital de un satélite viene dada por la expresión:

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

Para el satélite que orbita alrededor del planeta A:

v_A = \sqrt{\frac{GM_A}{r_A}}

Sustituyendo $M_A = 3M_B$ y $r_A = 4R_B$ :

v_A = \sqrt{\frac{G(3M_B)}{4R_B}}

Para el satélite que orbita alrededor del planeta B:

v_B = \sqrt{\frac{GM_B}{r_B}}

Sustituyendo $r_B = 2R_B$ :

v_B = \sqrt{\frac{GM_B}{2R_B}}

La relación entre las velocidades orbitales es:

\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{\frac{3GM_B}{4R_B}}}{\sqrt{\frac{GM_B}{2R_B}}} = \sqrt{\frac{\frac{3GM_B}{4R_B}}{\frac{GM_B}{2R_B}}} = \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1}} = \sqrt{\frac{3}{2}}

Por lo tanto, la relación es $v_A = \sqrt{\frac{3}{2}}v_B$ .