T5: Integrales · Áreas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Áreas

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

EJERCICIO 4

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = x^2$ y $g(x) = a|x|$ , con $a > 0$ . Determina el valor de $a$ para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Área entre curvasValor absoluto

Primero, identificamos las funciones dadas: $f(x) = x^2$ y $g(x) = a|x|$ , con $a > 0$ .Debido a la simetría de ambas funciones respecto al eje $y$ , podemos analizar el área en el semiplano $x \ge 0$ y luego duplicarla.Para $x \ge 0$ , la función $g(x)$ se simplifica a $g(x) = ax$ . Buscamos los puntos de intersección entre $f(x) = x^2$ y $g(x) = ax$ .

x^2 = ax

x^2 - ax = 0

x(x - a) = 0

Los puntos de intersección para $x \ge 0$ son $x=0$ y $x=a$ . Debido a la simetría, los puntos de intersección para $x < 0$ serán $x=0$ y $x=-a$ (al resolver $x^2 = -ax$ ). Por lo tanto, los recintos están limitados entre $x = -a$ y $x = a$ .Para determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo $(0, a)$ , podemos evaluar un punto intermedio, por ejemplo $x = a/2$ .

f\left(\frac{a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}

g\left(\frac{a}{2}\right) = a\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{2}

Dado que $a > 0$ , tenemos que $\frac{a^2}{2} > \frac{a^2}{4}$ . Esto significa que $g(x)$ está por encima de $f(x)$ en el intervalo $(0, a)$ .El área total de los recintos limitados será el doble del área calculada en el intervalo $[0, a]$ .

\text{Área} = 2 \int_0^a (g(x) - f(x)) dx

\text{Área} = 2 \int_0^a (ax - x^2) dx

Ahora, calculamos la integral definida.

\int_0^a (ax - x^2) dx = \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^a

= \left( \frac{a(a)^2}{2} - \frac{(a)^3}{3} \right) - \left( \frac{a(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right)

= \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3}

= \frac{3a^3 - 2a^3}{6} = \frac{a^3}{6}

El área total es el doble de este valor:

\text{Área total} = 2 \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{a^3}{3}

Se nos indica que el área total es de 9 unidades cuadradas. Igualamos la expresión del área a 9:

\frac{a^3}{3} = 9

a^3 = 27

a = \sqrt[3]{27}

a = 3

El valor de $a$ para que el área total sea de 9 unidades cuadradas es $a=3$ , lo cual cumple con la condición $a > 0$ .