T3: Geometría · Posiciones relativas y distancias — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Posiciones relativas y distancias

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 8

Considera las rectas

r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases} \text{ y } s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}

a) Estudia la posición relativa de

r

s

.b) Halla la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s

GeometríaRectasMínima distancia+1

a) Estudia la posición relativa de

r

s

Primero, expresamos ambas rectas en su forma paramétrica para identificar un punto y un vector director de cada una.Recta $r$ :

r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases}

Un punto de $r$ es $P_r(3, 1, -3)$ y su vector director es $\vec{v_r}(1, 0, -1)$ .Recta $s$ :

s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}

Para obtener la forma paramétrica, hacemos $y = \mu$ . Entonces $x = 1 - \mu$ y $z = 0$ .

s \equiv \begin{cases} x = 1 - \mu \\ y = \mu \\ z = 0 \end{cases}

Un punto de $s$ es $P_s(1, 0, 0)$ (tomando $\mu=0$ ) y su vector director es $\vec{v_s}(-1, 1, 0)$ .Ahora, analizamos la posición relativa:1. Verificamos si los vectores directores son paralelos. Los vectores $\vec{v_r}(1, 0, -1)$ y $\vec{v_s}(-1, 1, 0)$ no son proporcionales, ya que no existe un escalar $k$ tal que $\vec{v_r} = k \vec{v_s}$ . Por lo tanto, las rectas no son paralelas.2. Verificamos si las rectas se cortan o se cruzan. Para ello, formamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-3, 0-1, 0-(-3)) = (-2, -1, 3)$ .Calculamos el determinante de la matriz formada por los vectores $\vec{v_r}$ , $\vec{v_s}$ y $\vec{P_r P_s}$ :

\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}

\det = 1(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 0) - (-1)(0 \cdot 3 - (-1) \cdot (-1)) + (-2)(0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) \\

\det = 1(3) + 1(-1) - 2(1) = 3 - 1 - 2 = 0

Dado que el determinante es igual a $0$ y los vectores directores no son paralelos, las rectas $r$ y $s$ se cortan en un punto.

b) Halla la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s

La recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$ (recta $t$ ) debe tener un vector director que sea perpendicular a $\vec{v_r}$ y a $\vec{v_s}$ . Este vector se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ .

\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}

\vec{v_t} = (0 - (-1))\mathbf{i} - (0 - (-1))\mathbf{j} + (1 - 0)\mathbf{k} = (1, 1, 1)

Dado que las rectas se cortan, la recta $t$ debe pasar por el punto de intersección de $r$ y $s$ .Para hallar el punto de intersección, igualamos las coordenadas de las formas paramétricas de $r$ y $s$ :

\begin{cases} 3 + \lambda = 1 - \mu \quad (1) \\ 1 = \mu \quad (2) \\ -3 - \lambda = 0 \quad (3) \end{cases}

De la ecuación (2), obtenemos $\mu = 1$ .De la ecuación (3), obtenemos $\lambda = -3$ .Sustituimos estos valores en la ecuación (1) para comprobar la consistencia:

3 + (-3) = 1 - 1 \implies 0 = 0

Los valores son consistentes. Ahora sustituimos $\lambda = -3$ en la ecuación paramétrica de $r$ para encontrar el punto de intersección $P_{int}$ :

P_{int} = (3 + (-3), 1, -3 - (-3)) = (0, 1, 0)

La recta $t$ pasa por el punto $P_{int}(0, 1, 0)$ y tiene como vector director $\vec{v_t}(1, 1, 1)$ . Su ecuación paramétrica es:

t \equiv \begin{cases} x = 0 + k \\ y = 1 + k \\ z = 0 + k \end{cases} \implies t \equiv \begin{cases} x = k \\ y = 1 + k \\ z = k \end{cases}