T4: Funciones · Límites y continuidad — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Límites y continuidad

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

Sabiendo que el siguiente límite es finito, calcula $a$ y el valor del límite ( $ln$ denota la función logaritmo neperiano):

\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x}{x^2}

LímitesParámetrosL'Hôpital+1

Denotamos el límite como $L$ . Primero, evaluamos el numerador y el denominador en $x=0$ .

\lim_{x \to 0} (xe^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x) = 0 \cdot e^0 - \ln(1 + 0) - (a + 1) \cdot 0 = 0 - 0 - 0 = 0

\lim_{x \to 0} x^2 = 0

Dado que tenemos una forma indeterminada $\frac{0}{0}$ , aplicamos la Regla de L'Hôpital.

L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(xe^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x)}{\frac{d}{dx}(x^2)}

Calculamos las derivadas del numerador y del denominador:

\frac{d}{dx}(xe^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x) = (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) - \frac{1}{1 + x} - (a + 1) \cdot 1 = e^x(1 + x) - \frac{1}{1 + x} - (a + 1)

\frac{d}{dx}(x^2) = 2x

El límite se convierte en:

L = \lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + x) - \frac{1}{1 + x} - (a + 1)}{2x}

Para que este límite sea finito, el numerador debe ser $0$ cuando $x \to 0$ , ya que el denominador tiende a $0$ .

\lim_{x \to 0} (e^x(1 + x) - \frac{1}{1 + x} - (a + 1)) = e^0(1 + 0) - \frac{1}{1 + 0} - (a + 1) = 1 \cdot 1 - 1 - (a + 1) = 1 - 1 - a - 1 = -a - 1

Igualando el resultado a $0$ para encontrar $a$ :

-a - 1 = 0 \implies a = -1

Ahora sustituimos $a = -1$ en el límite y aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez, ya que volveremos a tener una forma indeterminada $\frac{0}{0}$ .

L = \lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + x) - \frac{1}{1 + x} - (-1 + 1)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + x) - (1 + x)^{-1}}{2x}

Derivamos nuevamente el numerador y el denominador:

\frac{d}{dx}(e^x(1 + x) - (1 + x)^{-1}) = (e^x(1 + x) + e^x \cdot 1) - (-(1 + x)^{-2} \cdot 1) = e^x(x + 2) + (1 + x)^{-2}

\frac{d}{dx}(2x) = 2

El límite final es:

L = \lim_{x \to 0} \frac{e^x(x + 2) + (1 + x)^{-2}}{2}

Evaluamos el límite en $x=0$ :

L = \frac{e^0(0 + 2) + (1 + 0)^{-2}}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}

a) El valor de

a

-1

.b) El valor del límite es

\frac{3}{2}