T2: Interacción electromagnética

Fuentes de campo magnético

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

B2-b

b) Por dos conductores rectilíneos muy largos, paralelos y separados por una distancia de

2 \text{ m}

circulan corrientes eléctricas de

1

3 \text{ A}

. Determine, apoyándose en un esquema, a qué distancia del primer hilo se anula el campo magnético en los siguientes casos: i) las dos corrientes van en el mismo sentido; ii) las corrientes van en sentidos opuestos.

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$

Corrientes rectilíneasCampo magnético nuloLey de Biot-Savart

El campo magnético $\vec{B}$ generado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ se calcula mediante la ley de Biot-Savart:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

Para que el campo magnético resultante sea nulo en un punto, los campos individuales creados por cada hilo ( $\vec{B}_1$ y $\vec{B}_2$ ) deben tener la misma dirección, sentidos opuestos y el mismo módulo. Esto implica la condición $B_1 = B_2$ .

i) Las dos corrientes van en el mismo sentido:

Aplicando la regla de la mano derecha, los vectores de campo magnético tienen sentidos opuestos únicamente en los puntos situados en el plano entre ambos conductores. Sea $x$ la distancia desde el primer hilo ( $I_1 = 1 \text{ A}$ ) hasta el punto de anulación. Dado que la separación total es $d = 2 \text{ m}$ , la distancia desde el segundo hilo ( $I_2 = 3 \text{ A}$ ) será $2 - x$ . Igualamos los módulos:

\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (2 - x)}

Simplificando los términos constantes $\frac{\mu_0}{2\pi}$ y sustituyendo los valores de las intensidades:

\frac{1}{x} = \frac{3}{2 - x} \Rightarrow 2 - x = 3x \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = 0,5 \text{ m}

El campo se anula a $0,5 \text{ m}$ del primer conductor, entre ambos hilos.

ii) Las corrientes van en sentidos opuestos:

Cuando las corrientes son de sentidos contrarios, los campos se restan en los puntos exteriores a los conductores. Para que los módulos puedan igualarse, el punto debe estar más cerca del conductor con menor intensidad ( $I_1$ ). Sea $x$ la distancia desde el primer hilo hacia el exterior. La distancia al segundo hilo será $2 + x$ :

\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (2 + x)}

\frac{1}{x} = \frac{3}{2 + x} \Rightarrow 2 + x = 3x \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \text{ m}

El campo se anula a $1 \text{ m}$ del primer conductor, en el lado exterior opuesto al segundo conductor.