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T3: Geometría
Métrica en el espacio
Problema
2021 · Ordinaria · Suplente
8
Examen

Considera los puntos A(1,2,3)A(1, 2, 3), B(−2,4,−3)B(-2, 4, -3) y C(−10,1,0)C(-10, 1, 0).

a) Halla el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.b) Halla el plano que equidista de AA y BB.
Área de un triánguloPlano equidistantePuntos en el espacio
a) Para hallar el área del triángulo de vértices A(1,2,3)A(1, 2, 3), B(−2,4,−3)B(-2, 4, -3) y C(−10,1,0)C(-10, 1, 0), primero calculamos dos vectores que forman dos de sus lados, por ejemplo, AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.
AB⃗=B−A=(−2−1,4−2,−3−3)=(−3,2,−6)AC⃗=C−A=(−10−1,1−2,0−3)=(−11,−1,−3)\begin{aligned} \vec{AB} &= B - A = (-2 - 1, 4 - 2, -3 - 3) = (-3, 2, -6) \\ \vec{AC} &= C - A = (-10 - 1, 1 - 2, 0 - 3) = (-11, -1, -3) \end{aligned}

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de estos dos vectores.

AB⃗×AC⃗=∣ijk−32−6−11−1−3∣=i((2)(−3)−(−6)(−1))−j((−3)(−3)−(−6)(−11))+k((−3)(−1)−(2)(−11))=i(−6−6)−j(9−66)+k(3+22)=−12i−(−57)j+25k=(−12,57,25)\begin{aligned} \vec{AB} \times \vec{AC} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 2 & -6 \\ -11 & -1 & -3 \end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i}((2)(-3) - (-6)(-1)) - \mathbf{j}((-3)(-3) - (-6)(-11)) + \mathbf{k}((-3)(-1) - (2)(-11)) \\ &= \mathbf{i}(-6 - 6) - \mathbf{j}(9 - 66) + \mathbf{k}(3 + 22) \\ &= -12\mathbf{i} - (-57)\mathbf{j} + 25\mathbf{k} \\ &= (-12, 57, 25) \end{aligned}

Ahora calculamos el módulo del vector resultante:

∥AB⃗×AC⃗∥=(−12)2+(57)2+(25)2=144+3249+625=4018\|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \sqrt{(-12)^2 + (57)^2 + (25)^2} = \sqrt{144 + 3249 + 625} = \sqrt{4018}

Finalmente, el área del triángulo es:

Aˊrea=12∥AB⃗×AC⃗∥=40182≈31.70 u2\text{Área} = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \frac{\sqrt{4018}}{2} \approx 31.70 \text{ u}^2
b) El plano que equidista de dos puntos AA y BB es el plano mediador del segmento ABAB. Este plano es perpendicular al vector AB⃗\vec{AB} y pasa por el punto medio MM del segmento ABAB.

Calculamos el punto medio MM de A(1,2,3)A(1, 2, 3) y B(−2,4,−3)B(-2, 4, -3):

M=(1+(−2)2,2+42,3+(−3)2)=(−12,3,0)M = \left(\frac{1 + (-2)}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + (-3)}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, 3, 0\right)

El vector normal n⃗\vec{n} del plano será el vector AB⃗\vec{AB} (o BA⃗\vec{BA}). Ya calculamos AB⃗=(−3,2,−6)\vec{AB} = (-3, 2, -6).La ecuación general de un plano es Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0. Usando el vector normal n⃗=(−3,2,−6)\vec{n} = (-3, 2, -6), tenemos:

−3x+2y−6z+D=0-3x + 2y - 6z + D = 0

Para encontrar DD, sustituimos las coordenadas del punto medio M(−12,3,0)M\left(-\frac{1}{2}, 3, 0\right) en la ecuación del plano:

−3(−12)+2(3)−6(0)+D=0-3\left(-\frac{1}{2}\right) + 2(3) - 6(0) + D = 0
32+6+0+D=0\frac{3}{2} + 6 + 0 + D = 0
32+122+D=0\frac{3}{2} + \frac{12}{2} + D = 0
152+D=0  ⟹  D=−152\frac{15}{2} + D = 0 \implies D = -\frac{15}{2}

Por lo tanto, la ecuación del plano que equidista de AA y BB es:

−3x+2y−6z−152=0-3x + 2y - 6z - \frac{15}{2} = 0

Multiplicando toda la ecuación por 22 para eliminar la fracción, obtenemos:

−6x+4y−12z−15=0-6x + 4y - 12z - 15 = 0

O bien, cambiando el signo de todos los términos:

6x−4y+12z+15=06x - 4y + 12z + 15 = 0