T3: Programación lineal · Optimización — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Optimización

Problema

2020 · Ordinaria · Reserva

EJERCICIO 1

Una confitería elabora dos tipos de tartas, unas de chocolate y otras de merengue y chocolate. Para ello dispone de $100 \text{ kg}$ de bizcocho, $80 \text{ kg}$ de crema de chocolate y $46 \text{ kg}$ de merengue. Para elaborar una tarta de chocolate, se requieren $1 \text{ kg}$ de bizcocho y $2 \text{ kg}$ de crema de chocolate y para la tarta de chocolate y merengue se requieren $2 \text{ kg}$ de bizcocho, $1 \text{ kg}$ de crema de chocolate y $1 \text{ kg}$ de merengue. Por cada tarta de chocolate se obtiene un beneficio de $10$ euros y de $12$ euros por cada una de merengue y chocolate. Suponiendo que se vende todo lo que se elabora, ¿cuántas tartas de cada tipo debe preparar para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál es dicho beneficio?

Programación LinealOptimización de beneficiosRestricciones

Resolución de Problema de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:

x

: Número de tartas de chocolate elaboradas.

y

: Número de tartas de merengue y chocolate elaboradas.

La función objetivo representa el beneficio total que se desea maximizar:

B(x, y) = 10x + 12y

Las restricciones del problema, basadas en la disponibilidad de ingredientes y la naturaleza de las variables, son las siguientes:

Bizcocho:

x + 2y \le 100

Crema de chocolate:

2x + y \le 80

Merengue:

y \le 46

No negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del polígono de soluciones resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes a la intersección de las rectas de restricción:

O(0, 0)

: Origen de coordenadas.

A(0, 46)

: Intersección de

x=0

y=46

B(8, 46)

: Intersección de

y=46

x + 2y = 100

(

x + 2(46) = 100 \implies x = 8

C(20, 40)

: Intersección de

x + 2y = 100

2x + y = 80

D(40, 0)

: Intersección de

2x + y = 80

y = 0

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 10x + 12y$ en cada uno de los vértices para encontrar el valor máximo:

B(0, 0) = 10(0) + 12(0) = 0 \text{ euros}

B(0, 46) = 10(0) + 12(46) = 552 \text{ euros}

B(8, 46) = 10(8) + 12(46) = 80 + 552 = 632 \text{ euros}

B(20, 40) = 10(20) + 12(40) = 200 + 480 = 680 \text{ euros}

B(40, 0) = 10(40) + 12(0) = 400 \text{ euros}

Para obtener el máximo beneficio, la confitería debe preparar 20 tartas de chocolate y 40 tartas de merengue y chocolate. El beneficio máximo obtenido será de 680 euros.