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T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio y fuerza
Problema
2021 · Extraordinaria · Reserva
A.1-b
Examen

Dos masas puntuales m1=2 kgm_1 = 2 \text{ kg} y m2=4 kgm_2 = 4 \text{ kg} están situadas en los puntos A(−3,0) mA(-3,0) \text{ m} y B(0,1) mB(0,1) \text{ m}, respectivamente. Calcule razonadamente:

i) El campo gravitatorio en el punto C(0,−1) mC(0,-1) \text{ m}.ii) La fuerza que ejercerá el campo sobre una masa m3=0,5 kgm_3 = 0,5 \text{ kg} situada en ese punto.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

campo gravitatoriofuerza gravitatoriasuperposición
i) El campo gravitatorio en el punto C(0,−1) mC(0,-1) \text{ m}.

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} creado por una masa puntual MM en un punto del espacio se define como la fuerza gravitatoria por unidad de masa que experimentaría una masa de prueba en ese punto. Su expresión vectorial es:

g⃗=−GMr2u^r=−GMr3r⃗\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r = -G \frac{M}{r^3} \vec{r}

Donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa que crea el campo, rr es la distancia desde la masa al punto donde se calcula el campo y u^r\hat{u}_r es el vector unitario que va desde la masa al punto. El signo negativo indica que el campo es atractivo.Las posiciones de las masas son A(−3,0) mA(-3,0) \text{ m} para m1=2 kgm_1 = 2 \text{ kg} y B(0,1) mB(0,1) \text{ m} para m2=4 kgm_2 = 4 \text{ kg}. El punto CC es (0,−1) m(0,-1) \text{ m}. La constante de gravitación universal es G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}.Calculamos el campo gravitatorio g⃗1\vec{g}_1 debido a m1m_1 en CC:El vector de posición de CC respecto a AA es r⃗1C=C⃗−A⃗=(0−(−3))i^+(−1−0)j^=(3i^−1j^) m\vec{r}_{1C} = \vec{C} - \vec{A} = (0 - (-3))\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} = (3\hat{i} - 1\hat{j}) \text{ m}.La distancia r1Cr_{1C} es el módulo de este vector: r1C=32+(−1)2=9+1=10 mr_{1C} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \text{ m}.

g⃗1=−Gm1r1C3r⃗1C\vec{g}_1 = -G \frac{m_1}{r_{1C}^3} \vec{r}_{1C}
g⃗1=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)2 kg(10 m)3(3i^−1j^) m\vec{g}_1 = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{2 \text{ kg}}{(\sqrt{10} \text{ m})^3} (3\hat{i} - 1\hat{j}) \text{ m}
g⃗1=−(6,67⋅10−11)21010(3i^−j^) N/kg\vec{g}_1 = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{2}{10\sqrt{10}} (3\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗1=−(6,67⋅10−11)1510(3i^−j^) N/kg\vec{g}_1 = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{1}{5\sqrt{10}} (3\hat{i} - \hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗1≈(−1,266⋅10−11i^+4,219⋅10−12j^) N/kg\vec{g}_1 \approx (-1,266 \cdot 10^{-11}\hat{i} + 4,219 \cdot 10^{-12}\hat{j}) \text{ N/kg}

Ahora, calculamos el campo gravitatorio g⃗2\vec{g}_2 debido a m2m_2 en CC:El vector de posición de CC respecto a BB es r⃗2C=C⃗−B⃗=(0−0)i^+(−1−1)j^=(−2j^) m\vec{r}_{2C} = \vec{C} - \vec{B} = (0 - 0)\hat{i} + (-1 - 1)\hat{j} = (-2\hat{j}) \text{ m}.La distancia r2Cr_{2C} es el módulo de este vector: r2C=02+(−2)2=4=2 mr_{2C} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2 \text{ m}.

g⃗2=−Gm2r2C3r⃗2C\vec{g}_2 = -G \frac{m_2}{r_{2C}^3} \vec{r}_{2C}
g⃗2=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)4 kg(2 m)3(−2j^) m\vec{g}_2 = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{4 \text{ kg}}{(2 \text{ m})^3} (-2\hat{j}) \text{ m}
g⃗2=−(6,67⋅10−11)48(−2j^) N/kg\vec{g}_2 = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{4}{8} (-2\hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗2=−(6,67⋅10−11)12(−2j^) N/kg\vec{g}_2 = -(6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{1}{2} (-2\hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗2=(6,67⋅10−11j^) N/kg\vec{g}_2 = (6,67 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N/kg}

El campo gravitatorio total en CC es la suma vectorial de los campos individuales:

g⃗C=g⃗1+g⃗2\vec{g}_C = \vec{g}_1 + \vec{g}_2
g⃗C=(−1,266⋅10−11i^+4,219⋅10−12j^)+(6,67⋅10−11j^) N/kg\vec{g}_C = (-1,266 \cdot 10^{-11}\hat{i} + 4,219 \cdot 10^{-12}\hat{j}) + (6,67 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗C=(−1,266⋅10−11i^+(0,4219⋅10−11+6,67⋅10−11)j^) N/kg\vec{g}_C = (-1,266 \cdot 10^{-11}\hat{i} + (0,4219 \cdot 10^{-11} + 6,67 \cdot 10^{-11})\hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗C=(−1,27⋅10−11i^+7,09⋅10−11j^) N/kg\vec{g}_C = (-1,27 \cdot 10^{-11}\hat{i} + 7,09 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N/kg}
ii) La fuerza que ejercerá el campo sobre una masa m3=0,5 kgm_3 = 0,5 \text{ kg} situada en ese punto.

La fuerza gravitatoria F⃗\vec{F} que experimenta una masa m3m_3 en un punto donde el campo gravitatorio es g⃗C\vec{g}_C viene dada por:

F⃗C=m3g⃗C\vec{F}_C = m_3 \vec{g}_C
F⃗C=(0,5 kg)(−1,266⋅10−11i^+7,092⋅10−11j^) N/kg\vec{F}_C = (0,5 \text{ kg}) (-1,266 \cdot 10^{-11}\hat{i} + 7,092 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N/kg}
F⃗C=(−6,33⋅10−12i^+3,55⋅10−11j^) N\vec{F}_C = (-6,33 \cdot 10^{-12}\hat{i} + 3,55 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N}