T3: Vibraciones y ondas · Ondas — FISICA PEvAU Andalucía 2022

Ondas

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

C2-b

b) Una onda viene dada por la expresión:

y(x,t) = 0,5 \cdot \cos(0,8 x) \cdot \sin(20 t) \text{ (S.I.)}

. Indique qué tipo de onda es y calcule su amplitud, frecuencia y longitud de onda, así como la velocidad de oscilación máxima de un punto situado en

x = 0,2 \text{ m}

Función de ondaAmplitudVelocidad de oscilación

b) La expresión de la onda es

y(x,t) = 0,5 \cdot \cos(0,8 x) \cdot \sin(20 t)

. Una onda que se expresa como el producto de una función que depende solo de la posición y otra que depende solo del tiempo, como

y(x,t) = A_0 \cdot f(x) \cdot g(t)

, corresponde a una onda estacionaria.

Comparando la expresión dada con la forma general de una onda estacionaria $y(x,t) = A_{max} \cos(kx) \sin(\omega t)$ (o una variación con seno en x y/o coseno en t), identificamos los parámetros:

A_{max} = 0,5 \text{ m}

k = 0,8 \text{ rad/m}

\omega = 20 \text{ rad/s}

La amplitud de la onda estacionaria (es decir, la amplitud máxima que alcanza un vientre) es:

A = 0,5 \text{ m}

La frecuencia angular es $\omega = 20 \text{ rad/s}$ . Podemos calcular la frecuencia $f$ a partir de la relación:

\omega = 2\pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi}

f = \frac{20 \text{ rad/s}}{2\pi \text{ rad}} \approx 3,18 \text{ Hz}

El número de onda es $k = 0,8 \text{ rad/m}$ . Podemos calcular la longitud de onda $\lambda$ a partir de la relación:

k = \frac{2\pi}{\lambda} \implies \lambda = \frac{2\pi}{k}

\lambda = \frac{2\pi \text{ rad}}{0,8 \text{ rad/m}} \approx 7,85 \text{ m}

Para calcular la velocidad de oscilación de un punto, derivamos la expresión de la onda respecto al tiempo:

v(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[0,5 \cdot \cos(0,8 x) \cdot \sin(20 t)\right]

v(x,t) = 0,5 \cdot \cos(0,8 x) \cdot (20) \cdot \cos(20 t)

v(x,t) = 10 \cdot \cos(0,8 x) \cdot \cos(20 t) \quad (\text{S.I.})

La velocidad de oscilación máxima de un punto se obtiene cuando $\cos(20t) = \pm 1$ . Por lo tanto, la amplitud de la velocidad de oscilación en cualquier punto $x$ es:

v_{max}(x) = |10 \cdot \cos(0,8 x)|

Para un punto situado en $x = 0,2 \text{ m}$ , sustituimos este valor en la expresión anterior (asegurándose de que la calculadora esté en modo radianes para el coseno):

v_{max}(0,2 \text{ m}) = |10 \cdot \cos(0,8 \cdot 0,2)|

v_{max}(0,2 \text{ m}) = |10 \cdot \cos(0,16 \text{ rad})|

v_{max}(0,2 \text{ m}) \approx |10 \cdot 0,9872|

v_{max}(0,2 \text{ m}) \approx 9,872 \text{ m/s}