T6: Teoría de muestras · Inferencia para medias — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Inferencia para medias

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

El consumo de energía eléctrica mensual por vivienda medido en kilovatios hora (kWh) sigue una distribución Normal con varianza 4225 $(kWh)^2$ .

a) Se toma una muestra aleatoria de 100 viviendas, obteniéndose un consumo total de 26830 kWh. Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar el consumo medio poblacional.b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar el consumo medio de energía eléctrica mensual por vivienda, con un error máximo de 5 kWh y con un nivel de confianza del 98%.c) Tras una campaña para incentivar el ahorro energético se toma una nueva muestra y el intervalo de confianza para el consumo medio que se obtiene es (224.08, 255.92). Calcule la media del consumo de energía eléctrica mensual por vivienda para dicha muestra.

Intervalo de confianzaDistribución NormalTamaño muestral

La distribución del consumo de energía eléctrica mensual es Normal con varianza $\sigma^2 = 4225 \text{ (kWh)}^2$ . Por lo tanto, la desviación estándar es $\sigma = \sqrt{4225} = 65 \text{ kWh}$ .

a) Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar el consumo medio poblacional.

Datos:* Tamaño de la muestra: $n = 100$ viviendas.* Consumo total de la muestra: $26830 \text{ kWh}$ .* Desviación estándar poblacional: $\sigma = 65 \text{ kWh}$ .* Nivel de confianza: $92\%$ , lo que significa que $1 - \alpha = 0.92 \Rightarrow \alpha = 0.08 \Rightarrow \alpha/2 = 0.04$ .Primero, calculamos la media muestral:

\bar{x} = \frac{\text{Consumo total}}{n} = \frac{26830}{100} = 268.3 \text{ kWh}

Para un nivel de confianza del $92\%$ , buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.04 = 0.96$ . Consultando la tabla de la distribución Normal estándar, encontramos que $z_{0.04} \approx 1.75$ .La fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional $(\mu)$ cuando se conoce la desviación estándar poblacional es:

\text{IC} = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Sustituyendo los valores:

\text{IC} = 268.3 \pm 1.75 \cdot \frac{65}{\sqrt{100}}

\text{IC} = 268.3 \pm 1.75 \cdot \frac{65}{10}

\text{IC} = 268.3 \pm 1.75 \cdot 6.5

\text{IC} = 268.3 \pm 11.375

El intervalo de confianza es:

(268.3 - 11.375, 268.3 + 11.375) = (256.925, 279.675)

b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar el consumo medio de energía eléctrica mensual por vivienda, con un error máximo de 5 kWh y con un nivel de confianza del 98%.

Datos:* Error máximo permitido: $E = 5 \text{ kWh}$ .* Desviación estándar poblacional: $\sigma = 65 \text{ kWh}$ .* Nivel de confianza: $98\%$ , lo que significa que $1 - \alpha = 0.98 \Rightarrow \alpha = 0.02 \Rightarrow \alpha/2 = 0.01$ .Para un nivel de confianza del $98\%$ , buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.01 = 0.99$ . Consultando la tabla de la distribución Normal estándar, encontramos que $z_{0.01} \approx 2.33$ .La fórmula para el tamaño de la muestra $(n)$ es:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2

Sustituyendo los valores:

n = \left( \frac{2.33 \cdot 65}{5} \right)^2

n = \left( \frac{151.45}{5} \right)^2

n = (30.29)^2

n \approx 917.4841

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos al alza para asegurar el error máximo deseado.

n = 918

c) Tras una campaña para incentivar el ahorro energético se toma una nueva muestra y el intervalo de confianza para el consumo medio que se obtiene es (224.08, 255.92). Calcule la media del consumo de energía eléctrica mensual por vivienda para dicha muestra.

El intervalo de confianza se expresa como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$ , donde $\bar{x}$ es la media muestral y $E$ es el error máximo. La media muestral es el punto medio del intervalo.

\bar{x} = \frac{\text{Límite inferior} + \text{Límite superior}}{2}

Sustituyendo los límites del intervalo dado $(224.08, 255.92)$ :

\bar{x} = \frac{224.08 + 255.92}{2}

\bar{x} = \frac{480}{2}

\bar{x} = 240 \text{ kWh}