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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Teoría
2020 · Ordinaria · Titular
2-a
Examen
a) Un solenoide de NN espiras se encuentra inmerso en un campo magnético variable con el tiempo. El eje del solenoide forma un ángulo de 45∘45^{\circ} con el campo. Razone, apoyándose de un esquema, qué ocurriría con la fuerza electromotriz inducida si: i) El número de espiras fuera el doble. ii) El ángulo entre el eje y el campo fuera el doble del inicial.
Ley de FaradaySolenoideFuerza electromotriz
a) La fuerza electromotriz (FEM) inducida en un solenoide se rige por la Ley de Faraday-Lenz, que establece que la FEM inducida es proporcional a la variación temporal del flujo magnético que lo atraviesa. El flujo magnético (ΦB\Phi_B) a través de una espira es el producto escalar del campo magnético (B⃗\vec{B}) y el vector área (A⃗\vec{A}) de la espira. Para un solenoide con NN espiras, el flujo magnético total es la suma de los flujos a través de cada espira. Si consideramos que el campo es uniforme a través de todas las espiras y que tienen la misma área AA, el flujo total será:
ΦB=NB⃗⋅A⃗=NBAcos⁡θ\Phi_B = N \vec{B} \cdot \vec{A} = N B A \cos\theta

Donde θ\theta es el ángulo entre el vector campo magnético B⃗\vec{B} y el vector área A⃗\vec{A} de las espiras, que es perpendicular al plano de las espiras y, por tanto, paralelo al eje del solenoide. La Ley de Faraday-Lenz para la FEM inducida (E\mathcal{E}) es:

E=−dΦBdt\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

Dado que el campo magnético es variable con el tiempo, y asumiendo que el área de las espiras y el ángulo se mantienen constantes durante la variación del campo, la expresión para la FEM inducida es:

E=−NAcos⁡θdBdt\mathcal{E} = -N A \cos\theta \frac{dB}{dt}

Inicialmente, el ángulo entre el eje del solenoide y el campo magnético es θ0=45∘\theta_0 = 45^\circ.

i) El número de espiras fuera el doble:

Si el número de espiras se duplica, N′=2NN' = 2N, mientras que AA, cos⁡θ\cos\theta, y dBdt\frac{dB}{dt} permanecen iguales. La nueva FEM inducida (E′\mathcal{E}') sería:

E′=−N′Acos⁡θdBdt=−(2N)Acos⁡θdBdt=2(−NAcos⁡θdBdt)=2E\mathcal{E}' = -N' A \cos\theta \frac{dB}{dt} = -(2N) A \cos\theta \frac{dB}{dt} = 2 \left( -N A \cos\theta \frac{dB}{dt} \right) = 2\mathcal{E}

Por lo tanto, si el número de espiras fuera el doble, la fuerza electromotriz inducida también sería el doble.

ii) El ángulo entre el eje y el campo fuera el doble del inicial:

El ángulo inicial es θ0=45∘\theta_0 = 45^\circ. Si el ángulo se duplica, el nuevo ángulo sería θ′=2×45∘=90∘\theta' = 2 \times 45^\circ = 90^\circ. Sustituyendo este nuevo ángulo en la expresión de la FEM inducida:

\mathcal{E}' = -N A \cos(90^\circ) \frac{dB}{dt}

Dado que cos⁡(90∘)=0\cos(90^\circ) = 0, la fuerza electromotriz inducida sería:

E′=−NA(0)dBdt=0\mathcal{E}' = -N A (0) \frac{dB}{dt} = 0

Si el ángulo entre el eje del solenoide y el campo magnético fuera de 90∘90^\circ, es decir, si el campo magnético fuera perpendicular al eje del solenoide (y, por lo tanto, paralelo al plano de las espiras), no habría flujo magnético que atravesara las espiras, y por consiguiente, la fuerza electromotriz inducida sería nula.