T4: Óptica · Leyes de la reflexión y refracción

Leyes de la reflexión y refracción

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

C2-b

b) Un rayo de luz con componentes azul y roja de longitudes de onda en el aire de

4,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}

6,9 \cdot 10^{-7} \text{ m}

, respectivamente, incide desde el aire sobre una placa de un determinado material con un ángulo de 40º respecto a la normal a la superficie de la placa. i) Mediante un esquema, y de manera razonada, indique la trayectoria de los rayos azul y rojo, tanto en el aire como en el material. ii) Deduzca cuál de las dos componentes (azul o roja) se propaga más rápidamente en el interior de la lámina. iii) Determine las frecuencias de los rayos en el aire.

Datos: $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}$ ; $n_{\text{aire}} = 1$ ; $n_{\text{material(azul)}} = 1,47$ ; $n_{\text{material(roja)}} = 1,44$

Ley de SnellDispersiónFrecuencia

b) i) Para determinar la trayectoria de los rayos azul y rojo, aplicamos la Ley de Snell a cada componente. La luz incide desde el aire (

n_{\text{aire}} = 1

) a un material con diferentes índices de refracción para cada color, con un ángulo de incidencia

\theta_1 = 40^\circ

La Ley de Snell establece que $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$ . Como los rayos pasan de un medio con menor índice de refracción (aire) a un medio con mayor índice de refracción (material), ambos se desviarán acercándose a la normal.Dado que $n_{\text{material(azul)}} = 1,47$ y $n_{\text{material(roja)}} = 1,44$ , y sabemos que $1,47 > 1,44$ , la componente azul experimentará una mayor desviación hacia la normal que la componente roja. Por lo tanto, el ángulo de refracción para el rayo azul será menor que para el rayo rojo.

\begin{aligned} n_{\text{aire}} \sin \theta_1 &= n_{\text{material(azul)}} \sin \theta_{\text{2,azul}} \\ 1 \cdot \sin 40^\circ &= 1,47 \sin \theta_{\text{2,azul}} \\ \sin \theta_{\text{2,azul}} &= \frac{\sin 40^\circ}{1,47} = \frac{0,6428}{1,47} \approx 0,4373 \\ \theta_{\text{2,azul}} &= \arcsin(0,4373) \approx 25,93^\circ \end{aligned}

\begin{aligned} n_{\text{aire}} \sin \theta_1 &= n_{\text{material(roja)}} \sin \theta_{\text{2,roja}} \\ 1 \cdot \sin 40^\circ &= 1,44 \sin \theta_{\text{2,roja}} \\ \sin \theta_{\text{2,roja}} &= \frac{\sin 40^\circ}{1,44} = \frac{0,6428}{1,44} \approx 0,4464 \\ \theta_{\text{2,roja}} &= \arcsin(0,4464) \approx 26,52^\circ \end{aligned}

Así, el rayo azul se refracta con un ángulo de $25,93^\circ$ y el rayo rojo con un ángulo de $26,52^\circ$ respecto a la normal. Esto confirma que el rayo azul se desvía más.

b) ii) La velocidad de la luz en un medio material se relaciona con la velocidad de la luz en el vacío (

c

) y el índice de refracción (

n

) del medio mediante la fórmula

v = \frac{c}{n}

Analizamos la velocidad para cada componente en el interior del material:

\begin{aligned} v_{\text{azul}} &= \frac{c}{n_{\text{material(azul)}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}}{1,47} \approx 2,04 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1} \\ v_{\text{roja}} &= \frac{c}{n_{\text{material(roja)}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}}{1,44} \approx 2,08 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1} \end{aligned}

Dado que $v_{\text{roja}} \approx 2,08 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}$ es mayor que $v_{\text{azul}} \approx 2,04 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}$ , la componente roja se propaga más rápidamente en el interior de la lámina.

b) iii) La frecuencia de la luz es una característica de la fuente y no cambia al pasar de un medio a otro. Podemos determinar la frecuencia de cada rayo en el aire utilizando la relación fundamental

c = \lambda \cdot f

Despejando la frecuencia $f = \frac{c}{\lambda}$ :

\begin{aligned} f_{\text{azul}} &= \frac{c}{\lambda_{\text{azul,aire}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}}{4,5 \cdot 10^{-7} \text{ m}} \approx 6,67 \cdot 10^{14} \text{ Hz} \\ f_{\text{roja}} &= \frac{c}{\lambda_{\text{roja,aire}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}}{6,9 \cdot 10^{-7} \text{ m}} \approx 4,35 \cdot 10^{14} \text{ Hz} \end{aligned}