T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2020 · Extraordinaria · Reserva

8-a

a) Dos partículas poseen la misma energía cinética. Sabiendo que la masa de una es 25 veces mayor que la masa de la otra, encuentre la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie.

Hipótesis de De BroglieEnergía cinética

a) La longitud de onda de De Broglie (

\lambda

) se define como:

\lambda = \frac{h}{p}

donde $h$ es la constante de Planck y $p$ es el momento lineal de la partícula.La energía cinética ( $E_c$ ) de una partícula se define como:

E_c = \frac{1}{2}mv^2

El momento lineal ( $p$ ) es el producto de la masa ( $m$ ) por la velocidad ( $v$ ):

p = mv

Podemos expresar el momento lineal en función de la energía cinética. Multiplicando y dividiendo la expresión de la energía cinética por $m$ :

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{m^2v^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}

Despejando el momento lineal $p$ :

p = \sqrt{2mE_c}

Ahora, sustituimos esta expresión de $p$ en la fórmula de la longitud de onda de De Broglie:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}

Sean las dos partículas A y B. Sus energías cinéticas son iguales, $E_{cA} = E_{cB} = E_c$ . Sus masas son $m_A$ y $m_B$ . Sabemos que la masa de una es 25 veces mayor que la otra. Supongamos que $m_A = 25m_B$ .Las longitudes de onda de cada partícula serán:

\lambda_A = \frac{h}{\sqrt{2m_A E_c}}

\lambda_B = \frac{h}{\sqrt{2m_B E_c}}

Para encontrar la relación entre sus longitudes de onda, dividimos una por la otra:

\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_A E_c}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_B E_c}}} = \frac{\sqrt{2m_B E_c}}{\sqrt{2m_A E_c}} = \sqrt{\frac{2m_B E_c}{2m_A E_c}} = \sqrt{\frac{m_B}{m_A}}

Sustituyendo la relación de masas $m_A = 25m_B$ :

\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \sqrt{\frac{m_B}{25m_B}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}

Por lo tanto, la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie es:

\lambda_A = \frac{1}{5}\lambda_B

La partícula con mayor masa tendrá una longitud de onda de De Broglie 5 veces menor que la partícula con menor masa.