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T2: Sistemas mecánicos
Máquinas térmicas
Problema
2025 · Ordinaria · Reserva
2B
Examen

Un sistema de calefacción mantiene la temperatura de un recinto a 22∘C22 ^\circ\text{C} mientras la temperatura del exterior es 2∘C2 ^\circ\text{C}. La eficiencia de la máquina es el 40%40 \% de la ideal y la potencia del compresor es 3 kW3 \text{ kW}.

a) Calcular la eficiencia real de la máquina y la potencia calorífica del sistema de calefacción.b) Determinar la energía consumida por el compresor y la cantidad de calor absorbida del exterior en 33 horas de funcionamiento.
Bomba de calorEficiencia térmicaCiclo de Carnot
a)

Calcular la eficiencia real de la máquina y la potencia calorífica del sistema de calefacción.Datos

Tc=22∘CT_c = 22 ^\circ\text{C}
Tf=2∘CT_f = 2 ^\circ\text{C}
Pcompresor=3 kWP_{\text{compresor}} = 3 \text{ kW}
\eta_{\text{real}} = 0.40 \cdot \eta_{\text{ideal}}$ (en este contexto, $\eta$ se refiere al COP o coeficiente de operación $\varepsilon \quad\text{para una bomba de calor)}

Fórmulas Conversión de temperaturas a Kelvin:

TK=TC+273.15T_{\text{K}} = T_{\text{C}} + 273.15

Eficiencia ideal (COP ideal) de una bomba de calor:

εideal=TcTc−Tf\varepsilon_{\text{ideal}} = \dfrac{T_c}{T_c - T_f}

Eficiencia real de la máquina:

εreal=0.40⋅εideal\varepsilon_{\text{real}} = 0.40 \cdot \varepsilon_{\text{ideal}}

Relación entre potencia calorífica, eficiencia real y potencia del compresor:

εreal=PcPcompresor\varepsilon_{\text{real}} = \dfrac{P_c}{P_{\text{compresor}}}

Potencia calorífica:

Pc=εreal⋅PcompresorP_c = \varepsilon_{\text{real}} \cdot P_{\text{compresor}}

Sustitución Conversión de temperaturas a Kelvin:

Tc=22+273.15=295.15 KT_c = 22 + 273.15 = 295.15 \text{ K}
Tf=2+273.15=275.15 KT_f = 2 + 273.15 = 275.15 \text{ K}

Cálculo de la eficiencia ideal:

εideal=295.15 K295.15 K−275.15 K=295.1520=14.7575\varepsilon_{\text{ideal}} = \dfrac{295.15 \text{ K}}{295.15 \text{ K} - 275.15 \text{ K}} = \dfrac{295.15}{20} = 14.7575

Cálculo de la eficiencia real:

εreal=0.40⋅14.7575=5.903\varepsilon_{\text{real}} = 0.40 \cdot 14.7575 = 5.903

Cálculo de la potencia calorífica del sistema de calefacción:

Pc=5.903⋅3 kW=17.709 kWP_c = 5.903 \cdot 3 \text{ kW} = 17.709 \text{ kW}

Resultado

La eficiencia real de la máquina es $5.903
undefined
b)

Determinar la energía consumida por el compresor y la cantidad de calor absorbida del exterior en 33 horas de funcionamiento.Datos

Pcompresor=3 kWP_{\text{compresor}} = 3 \text{ kW}
P_c = 17.709 \text{ kW} \quad\text{(del apartado a))}
t=3 ht = 3 \text{ h}

Fórmulas Energía consumida por el compresor:

Wcompresor=Pcompresor⋅tW_{\text{compresor}} = P_{\text{compresor}} \cdot t

Calor entregado al recinto (energía calorífica total):

Qc=Pc⋅tQ_c = P_c \cdot t

Balance de energía (para una bomba de calor):

Qc=Qf+WcompresorQ_c = Q_f + W_{\text{compresor}}

Calor absorbido del exterior:

Qf=Qc−WcompresorQ_f = Q_c - W_{\text{compresor}}

Sustitución Conversión del tiempo a segundos:

t=3 h⋅3600 s/h=10800 st = 3 \text{ h} \cdot 3600 \text{ s/h} = 10800 \text{ s}

Conversión de potencias a vatios:

Pcompresor=3 kW=3000 WP_{\text{compresor}} = 3 \text{ kW} = 3000 \text{ W}
Pc=17.709 kW=17709 WP_c = 17.709 \text{ kW} = 17709 \text{ W}

Cálculo de la energía consumida por el compresor:

Wcompresor=3000 W⋅10800 s=32400000 JW_{\text{compresor}} = 3000 \text{ W} \cdot 10800 \text{ s} = 32400000 \text{ J}

Cálculo del calor total entregado al recinto:

Qc=17709 W⋅10800 s=191257200 JQ_c = 17709 \text{ W} \cdot 10800 \text{ s} = 191257200 \text{ J}

Cálculo de la cantidad de calor absorbida del exterior:

Qf=191257200 J−32400000 J=158857200 JQ_f = 191257200 \text{ J} - 32400000 \text{ J} = 158857200 \text{ J}

Resultado

undefined
La cantidad de calor absorbida del exterior en $3$ horas es $158.86 \text{ MJ}