T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para proporciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Intervalos de confianza para proporciones

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Se desea conocer la proporción de habitantes de una determinada ciudad que realizan turismo sostenible durante sus vacaciones. Para ello se selecciona al azar una muestra de $2500$ habitantes, resultando que $1825$ realizan turismo sostenible.

a) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del

95\%

, para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible.b) Para un nivel de confianza del

97\%

y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al

1\%

?c) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra.

Inferencia estadísticaIntervalo de confianzaProporción+1

Primero, calculamos la proporción muestral ( $p_s$ ) y su complemento ( $q_s$ ):

p_s = \frac{1825}{2500} = 0.73

q_s = 1 - p_s = 1 - 0.73 = 0.27

a) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del

95\%

, para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible.

Para un nivel de confianza del $95\%$ , tenemos que $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.025$ . El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca en la tabla de la distribución normal estándar para $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$ . Este valor es $z_{0.025} = 1.96$ .La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es:

IC = p_s \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p_s q_s}{n}}

Sustituyendo los valores:

IC = 0.73 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.73 \cdot 0.27}{2500}}

IC = 0.73 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.1971}{2500}}

IC = 0.73 \pm 1.96 \sqrt{0.00007884}

IC = 0.73 \pm 1.96 \cdot 0.008879

IC = 0.73 \pm 0.01740

Calculando los límites del intervalo:

\text{Límite inferior} = 0.73 - 0.01740 = 0.7126

\text{Límite superior} = 0.73 + 0.01740 = 0.7474

El intervalo de confianza del $95\%$ para la proporción de habitantes que realizan turismo sostenible es $(0.7126, 0.7474)$ .

b) Para un nivel de confianza del

97\%

y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al

1\%

Para un nivel de confianza del $97\%$ , tenemos que $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.015$ . El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca para $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$ . Este valor es $z_{0.015} \approx 2.17$ .El error de estimación ( $E$ ) debe ser inferior al $1\%$ , es decir, $E < 0.01$ .La fórmula del error de estimación es:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p_s q_s}{n}}

Despejando el tamaño de la muestra ( $n$ ):

E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{p_s q_s}{n}

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 p_s q_s}{E^2}

Sustituyendo los valores ( $p_s = 0.73$ , $q_s = 0.27$ , $z_{\alpha/2} = 2.17$ , $E = 0.01$ ):

n = \frac{(2.17)^2 \cdot 0.73 \cdot 0.27}{(0.01)^2}

n = \frac{4.7089 \cdot 0.1971}{0.0001}

n = \frac{0.92824919}{0.0001}

n = 9282.4919

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se requiere que el error sea inferior al $1\%$ , se debe redondear al entero superior. Por lo tanto, el tamaño mínimo de la nueva muestra sería $9283$ habitantes.

c) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra.

La amplitud del intervalo de confianza está directamente relacionada con el error máximo de estimación ( $E$ ). La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p_s q_s}{n}}$ . La amplitud del intervalo es $2E$ .Observamos que el tamaño de la muestra ( $n$ ) se encuentra en el denominador de la raíz cuadrada. Si el tamaño de la muestra ( $n$ ) disminuye, el valor de $\frac{1}{\sqrt{n}}$ aumentará. Esto significa que el error de estimación ( $E$ ) aumentará, y por lo tanto, la amplitud del intervalo de confianza también aumentará.En resumen, una disminución del tamaño de la muestra producirá un aumento en la amplitud del intervalo de confianza.