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T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2021 · Ordinaria · Suplente
D.1-b
Examen
b) Las moléculas de hidrógeno gaseoso (HX2\ce{H2}), en condiciones estándar, se mueven a una velocidad promedio de 1846 m⋅s−11846 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}. Resuelva los siguientes apartados razonadamente. i) ¿Cuánto vale la longitud de onda de De Broglie promedio de las moléculas de hidrógeno? ii) ¿A qué velocidad debería moverse un electrón para tener la misma longitud de onda que las moléculas de hidrógeno?

Datos: h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; m(HX2)=3,346⋅10−27 kgm(\ce{H2}) = 3,346 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

De BroglieHidrógenoElectrón
b) i) Para calcular la longitud de onda de De Broglie de las moléculas de hidrógeno, utilizamos la relación de De Broglie:
λ=hp=hm⋅v\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Donde hh es la constante de Planck, mm es la masa de la molécula de hidrógeno y vv es su velocidad. Sustituimos los valores dados:

λHX2=6,63⋅10−34 J⋅s(3,346⋅10−27 kg)⋅(1846 m⋅s−1)\lambda_{\ce{H2}} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{(3,346 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (1846 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})}
λHX2=6,63⋅10−34 kg⋅m2⋅s−16,175⋅10−24 kg⋅m⋅s−1\lambda_{\ce{H2}} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}}{6,175 \cdot 10^{-24} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}}
λHX2≈1,0737⋅10−10 m\lambda_{\ce{H2}} \approx 1,0737 \cdot 10^{-10} \text{ m}
b) ii) Para que un electrón tenga la misma longitud de onda que las moléculas de hidrógeno, su longitud de onda de De Broglie debe ser λe=λHX2=1,0737⋅10−10 m\lambda_e = \lambda_{\ce{H2}} = 1,0737 \cdot 10^{-10} \text{ m}. Utilizamos la misma relación de De Broglie para el electrón:
λe=hme⋅ve\lambda_e = \frac{h}{m_e \cdot v_e}

Despejamos la velocidad vev_e del electrón:

ve=hme⋅λev_e = \frac{h}{m_e \cdot \lambda_e}

Sustituimos los valores de la constante de Planck, la masa del electrón (me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}) y la longitud de onda calculada:

ve=6,63⋅10−34 J⋅s(9,1⋅10−31 kg)⋅(1,0737⋅10−10 m)v_e = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}) \cdot (1,0737 \cdot 10^{-10} \text{ m})}
ve=6,63⋅10−34 kg⋅m2⋅s−19,770⋅10−41 kg⋅mv_e = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}}{9,770 \cdot 10^{-41} \text{ kg} \cdot \text{m}}
ve≈6,786⋅106 m⋅s−1v_e \approx 6,786 \cdot 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}