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T3: Geometría
Intersecciones y distancias en el espacio
Problema
2020 · Extraordinaria · Reserva
8
Examen

Considera el plano π≡2x−y+z−3=0\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0, la recta r≡{x=3+λy=1−2λz=−2−λr \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases} y el punto P(1,1,2)P(1, 1, 2).

a) Determina la ecuación general del plano perpendicular a π\pi, paralelo a rr y que pasa por el punto PP.b) Calcula el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.
PlanoRectaPunto simétrico+1
a) Determina la ecuación general del plano perpendicular a π\pi, paralelo a rr y que pasa por el punto PP.

Sea π′≡Ax+By+Cz+D=0\pi' \equiv Ax + By + Cz + D = 0 el plano buscado.Del plano π≡2x−y+z−3=0\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0, obtenemos su vector normal nπ⃗=(2,−1,1)\vec{n_\pi} = (2, -1, 1).De la recta r≡{x=3+λy=1−2λz=−2−λr \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases}, obtenemos su vector director vr⃗=(1,−2,−1)\vec{v_r} = (1, -2, -1).Como π′\pi' es perpendicular a π\pi, su vector normal nπ′⃗\vec{n_{\pi'}} debe ser ortogonal a nπ⃗\vec{n_\pi}. Es decir, nπ′⃗⋅nπ⃗=0\vec{n_{\pi'}} \cdot \vec{n_\pi} = 0.Como π′\pi' es paralelo a rr, su vector normal nπ′⃗\vec{n_{\pi'}} debe ser ortogonal a vr⃗\vec{v_r}. Es decir, nπ′⃗⋅vr⃗=0\vec{n_{\pi'}} \cdot \vec{v_r} = 0.Por lo tanto, nπ′⃗\vec{n_{\pi'}} se puede obtener como el producto vectorial de nπ⃗\vec{n_\pi} y vr⃗\vec{v_r}.

nπ′⃗=nπ⃗×vr⃗=∣ijk2−111−2−1∣\vec{n_{\pi'}} = \vec{n_\pi} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}
nπ′⃗=i((−1)(−1)−(1)(−2))−j((2)(−1)−(1)(1))+k((2)(−2)−(−1)(1))\vec{n_{\pi'}} = \mathbf{i}(( -1)(-1) - (1)(-2)) - \mathbf{j}((2)(-1) - (1)(1)) + \mathbf{k}((2)(-2) - (-1)(1))
nπ′⃗=i(1+2)−j(−2−1)+k(−4+1)\vec{n_{\pi'}} = \mathbf{i}(1 + 2) - \mathbf{j}(-2 - 1) + \mathbf{k}(-4 + 1)
nπ′⃗=3i+3j−3k=(3,3,−3)\vec{n_{\pi'}} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 3\mathbf{k} = (3, 3, -3)

Podemos usar un vector normal simplificado (1,1,−1)(1, 1, -1). Así, la ecuación del plano π′\pi' es x+y−z+D=0x + y - z + D = 0.El plano π′\pi' pasa por el punto P(1,1,2)P(1, 1, 2). Sustituimos las coordenadas de PP en la ecuación del plano:

1+1−2+D=0  ⟹  0+D=0  ⟹  D=01 + 1 - 2 + D = 0 \implies 0 + D = 0 \implies D = 0

La ecuación general del plano π′\pi' es:

x+y−z=0x + y - z = 0
b) Calcula el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.

Sea P(1,1,2)P(1, 1, 2). Un punto genérico de la recta rr es Q(3+λ,1−2λ,−2−λ)Q(3 + \lambda, 1 - 2\lambda, -2 - \lambda).El vector PQ⃗\vec{PQ} es (3+λ−1,1−2λ−1,−2−λ−2)=(2+λ,−2λ,−4−λ)(3 + \lambda - 1, 1 - 2\lambda - 1, -2 - \lambda - 2) = (2 + \lambda, -2\lambda, -4 - \lambda).El vector director de la recta rr es vr⃗=(1,−2,−1)\vec{v_r} = (1, -2, -1).Para que QQ sea la proyección de PP sobre rr (llamémosle P′P'), el vector PP′⃗\vec{PP'} debe ser ortogonal a vr⃗\vec{v_r}.

PP′⃗⋅vr⃗=0\vec{PP'} \cdot \vec{v_r} = 0
(2 + \lambda)(1) + (-2\lambda)(-2) + (-4 - \lambda)(-1) = 0
2+λ+4λ+4+λ=02 + \lambda + 4\lambda + 4 + \lambda = 0
6+6λ=0  ⟹  6λ=−6  ⟹  λ=−16 + 6\lambda = 0 \implies 6\lambda = -6 \implies \lambda = -1

Sustituimos λ=−1\lambda = -1 en las ecuaciones de la recta para obtener las coordenadas del punto proyección P′P':

xP′=3+(−1)=2x_{P'} = 3 + (-1) = 2
yP′=1−2(−1)=1+2=3y_{P'} = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3
zP′=−2−(−1)=−2+1=−1z_{P'} = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1

Por lo tanto, el punto proyección es P′(2,3,−1)P'(2, 3, -1).Sea P′′(x′′,y′′,z′′)P''(x'', y'', z'') el punto simétrico de PP respecto de la recta rr. P′P' es el punto medio del segmento PP′′PP''.

P′=(xP+x′′2,yP+y′′2,zP+z′′2)P' = \left( \frac{x_P + x''}{2}, \frac{y_P + y''}{2}, \frac{z_P + z''}{2} \right)
(2,3,−1)=(1+x′′2,1+y′′2,2+z′′2)(2, 3, -1) = \left( \frac{1 + x''}{2}, \frac{1 + y''}{2}, \frac{2 + z''}{2} \right)

Igualando las coordenadas:

2=1+x′′2  ⟹  4=1+x′′  ⟹  x′′=32 = \frac{1 + x''}{2} \implies 4 = 1 + x'' \implies x'' = 3
3=1+y′′2  ⟹  6=1+y′′  ⟹  y′′=53 = \frac{1 + y''}{2} \implies 6 = 1 + y'' \implies y'' = 5
−1=2+z′′2  ⟹  −2=2+z′′  ⟹  z′′=−4-1 = \frac{2 + z''}{2} \implies -2 = 2 + z'' \implies z'' = -4

El punto simétrico de PP respecto de la recta rr es P′′(3,5,−4)P''(3, 5, -4).